Courbe de remplissage d'espace

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Trois itérations de la construction de la courbe de Peano , dont la limite est une courbe de remplissage d'espace.

En analyse mathématique , une courbe de remplissage d'espace est une courbe dont la plage contient l'intégralité du carré unitaire à 2 dimensions (ou plus généralement un hypercube d' unité à n dimensions ). Comme Giuseppe Peano (1858–1932) a été le premier à en découvrir une, les courbes de remplissage d'espace dans le plan à 2 dimensions sont parfois appelées courbes de Peano , mais cette phrase fait également référence à la courbe de Peano , l'exemple spécifique d'une courbe de remplissage d'espace trouvé par Peano.

Définition [ modifier ]

Intuitivement, une courbe à deux ou trois dimensions (ou plus) peut être considérée comme la trajectoire d'un point en mouvement continu. Pour éliminer le flou inhérent à cette notion, Jordan a introduit en 1887 la définition rigoureuse suivante, qui a depuis été adoptée comme description précise de la notion de courbe :

Une courbe (avec des extrémités) est une fonction continue dont le domaine est l' intervalle unitaire [0, 1] .

Dans la forme la plus générale, la plage d'une telle fonction peut se trouver dans un espace topologique arbitraire , mais dans les cas les plus couramment étudiés, la plage se situera dans un espace euclidien tel que le plan bidimensionnel (une courbe plane ) ou le Espace tridimensionnel ( courbe spatiale ).

Parfois, la courbe est identifiée avec l' image de la fonction (l'ensemble de toutes les valeurs possibles de la fonction), au lieu de la fonction elle-même. Il est également possible de définir des courbes sans extrémités pour être une fonction continue sur la ligne réelle (ou sur l'intervalle unitaire ouvert  (0, 1) ).

Histoire [ modifier ]

En 1890, Peano a découvert une courbe continue, maintenant appelée courbe de Peano , qui passe par chaque point du carré unitaire ( Peano (1890) ). Son but était de construire une cartographie continue de l' intervalle unitaire sur le carré unitaire . Peano était motivé par le résultat contre-intuitif antérieur de Georg Cantor selon lequel le nombre infini de points dans un intervalle unitaire a la même cardinalité que le nombre infini de points dans toute variété de dimension finie., comme le carré de l'unité. Le problème résolu par Peano était de savoir si une telle cartographie pouvait être continue; c'est-à-dire une courbe qui remplit un espace. La solution de Peano ne met pas en place une correspondance biunivoque continue entre l'intervalle unitaire et le carré unitaire, et en effet une telle correspondance n'existe pas (voir "Propriétés" ci-dessous).

Il était courant d'associer les notions vagues de finesse et de 1-dimensionnalité aux courbes; toutes les courbes normalement rencontrées étaient différentiables par morceaux (c'est-à-dire qu'elles ont des dérivées continues par morceaux), et de telles courbes ne peuvent pas remplir tout le carré unitaire. Par conséquent, la courbe de remplissage d'espace de Peano s'est avérée très contre-intuitive.

De l'exemple de Peano, il était facile de déduire des courbes continues dont les plages contenaient l' hypercube n -dimensionnel (pour tout entier positif n ). Il était également facile d'étendre l'exemple de Peano à des courbes continues sans points d'extrémité, qui remplissaient tout l' espace euclidien à n dimensions (où n est égal à 2, 3 ou tout autre entier positif).

Les courbes de remplissage d'espace les plus connues sont construites de manière itérative comme la limite d'une séquence de courbes continues linéaires par morceaux , chacune se rapprochant plus étroitement de la limite de remplissage d'espace.

L'article révolutionnaire de Peano ne contenait aucune illustration de sa construction, qui est définie en termes d' expansions ternaires et d' opérateur de mise en miroir . Mais la construction graphique était parfaitement claire pour lui - il a fait un carrelage ornemental montrant une image de la courbe dans sa maison à Turin. L'article de Peano se termine également en observant que la technique peut évidemment être étendue à d'autres bases impaires en plus de la base 3. Son choix d'éviter tout appel à la visualisation graphiqueétait, sans doute, motivée par le désir d'une preuve bien fondée, tout à fait rigoureuse, ne devant rien aux images. À cette époque (début de la fondation de la topologie générale), les arguments graphiques étaient toujours inclus dans les preuves, mais devenaient un obstacle à la compréhension de résultats souvent contre-intuitifs.

Un an plus tard, David Hilbert publie dans le même journal une variante de la construction de Peano ( Hilbert 1891 ). L'article de Hilbert a été le premier à inclure une image aidant à visualiser la technique de construction, essentiellement la même que celle illustrée ici. La forme analytique de la courbe de Hilbert , cependant, est plus compliquée que celle de Peano.

Six itérations de la construction de la courbe de Hilbert, dont la courbe limite de remplissage d'espace a été conçue par le mathématicien David Hilbert .

Grandes lignes de la construction d'une courbe de remplissage d' espace [ modifier ]

Soit l' espace Cantor .

Nous commençons par une fonction continue de l'espace Cantor sur tout l'intervalle unitaire . (La restriction de la fonction Cantor à l' ensemble de Cantor est un exemple d'une telle fonction.) À partir de là, nous obtenons une fonction continue du produit topologique sur l'ensemble du carré unitaire en définissant

Puisque l'ensemble de Cantor est homéomorphe au produit , il y a une bijection continue de l'ensemble de Cantor vers . La composition de et est une fonction continue mappant l'ensemble de Cantor sur l'ensemble du carré de l'unité. (Alternativement, nous pourrions utiliser le théorème selon lequel chaque espace métrique compact est une image continue de l'ensemble de Cantor pour obtenir la fonction .)

Enfin, on peut s'étendre à une fonction continue dont le domaine est l'intervalle unitaire entier . Cela peut être fait soit en utilisant le théorème d'extension de Tietze sur chacune des composantes de , soit en étendant simplement «linéairement» (c'est-à-dire que sur chacun des intervalles ouverts supprimés dans la construction de l'ensemble de Cantor, nous définissons la partie d'extension de sur pour être le segment de ligne dans le carré unitaire joignant les valeurs et ).

Propriétés [ modifier ]

Courbes de Morton et Hilbert de niveau 6 (4 5 = 1024 cellules dans la partition carrée récursive ) traçant chaque adresse sous une couleur différente dans le standard RVB , et en utilisant des étiquettes Geohash . Les quartiers ont des couleurs similaires, mais chaque courbe offre un modèle différent de regroupement similaire à des échelles plus petites.

Si une courbe n'est pas injective, alors on peut trouver deux sous- courbes qui se croisent de la courbe, chacune obtenue en considérant les images de deux segments disjoints du domaine de la courbe (le segment de ligne unitaire). Les deux sous-courbes se croisent si l' intersection des deux images n'est pas vide . On pourrait être tenté de penser que le sens des courbes qui se croisent est qu'elles se croisent nécessairement, comme le point d'intersection de deux droites non parallèles, d'un côté à l'autre. Cependant, deux courbes (ou deux sous-courbes d'une même courbe) peuvent se contacter sans se croiser, comme le fait par exemple une ligne tangente à un cercle.

Une courbe continue non auto-sécante ne peut pas remplir le carré unitaire car cela fera de la courbe un homéomorphisme de l'intervalle unitaire sur le carré unitaire (toute bijection continue d'un espace compact sur un espace de Hausdorff est un homéomorphisme). Mais un carré unitaire n'a pas de point de coupure , et ne peut donc pas être homéomorphe à l'intervalle unitaire, dans lequel tous les points sauf les extrémités sont des points de coupure. Il existe des courbes non auto-sécantes d'aire non nulle, les courbes d'Osgood , mais elles ne remplissent pas d'espace.

Pour les courbes classiques de remplissage d'espace de Peano et Hilbert, où deux sous-courbes se croisent (au sens technique), il y a contact personnel sans auto-croisement. Une courbe de remplissage d'espace peut être (partout) auto-croisée si ses courbes d'approximation sont auto-croisées. Les approximations d'une courbe de remplissage d'espace peuvent être auto-évitées, comme l'illustrent les figures ci-dessus. En 3 dimensions, les courbes d'approximation auto-évitées peuvent même contenir des nœuds . Les courbes d'approximation restent dans une partie délimitée de l'espace n- dimensionnel, mais leurs longueurs augmentent sans limite.

Les courbes de remplissage d'espace sont des cas particuliers de courbes fractales . Aucune courbe de remplissage d'espace différenciable ne peut exister. En gros, la différentiabilité impose une limite à la vitesse à laquelle la courbe peut tourner.

Le théorème de Hahn-Mazurkiewicz [ modifier ]

Le théorème de Hahn - Mazurkiewicz est la caractérisation suivante des espaces qui sont l'image continue des courbes:

Un espace topologique de Hausdorff non vide est une image continue de l'intervalle unitaire si et seulement s'il s'agit d'un espace compact, connecté , localement connecté , deuxième dénombrable .

Les espaces qui sont l'image continue d'un intervalle unitaire sont parfois appelés espaces Peano .

Dans de nombreuses formulations du théorème de Hahn – Mazurkiewicz, le second-dénombrable est remplacé par metrizable . Ces deux formulations sont équivalentes. Dans une direction, un espace de Hausdorff compact est un espace normal et, par le théorème de métrisation d' Urysohn , le second-dénombrable implique alors metrizable. Inversement, un espace métrique compact est dénombrable en secondes.

Groupes kleiniennes [ modifier ]

Il existe de nombreux exemples naturels de courbes de remplissage d'espace, ou plutôt de remplissage de sphères, dans la théorie des groupes kleiniens doublement dégénérés . Par exemple, Cannon & Thurston (2007) ont montré que le cercle à l'infini de la couverture universelle d'une fibre d'un tore de cartographie d'une carte pseudo-Anosov est une courbe de remplissage de sphère. (Ici, la sphère est la sphère à l'infini de l'espace 3 hyperbolique .)

Intégration [ modifier ]

Wiener a souligné dans L'intégrale de Fourier et certaines de ses applications que les courbes de remplissage d'espace pourraient être utilisées pour réduire l' intégration de Lebesgue dans des dimensions supérieures à l'intégration de Lebesgue dans une dimension.

Voir aussi [ modifier ]

  • Courbe de dragon
  • Courbe de Gosper
  • Courbe de Hilbert
  • Courbe de Koch
  • Courbe de Moore
  • Polygone de Murray
  • Courbe de Sierpiński
  • Arbre remplissant l'espace
  • Index spatial
  • Hilbert R-tree
  • B x -arbre
  • Ordre Z (courbe) (ordre Morton)
  • Liste des fractales par dimension de Hausdorff

Références [ modifier ]

  • Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], «Courbes de Peano invariantes de groupe», Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
  • Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück" , Mathematische Annalen (en allemand), 38 (3): 459-460, doi : 10.1007 / BF01199431 , S2CID  123643081
  • Mandelbrot, BB (1982), "Ch. 7: Exploiter les courbes des monstres Peano", La géométrie fractale de la nature , WH Freeman.
  • McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid", dans Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (éd.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , Mathematical Association of America , pp.  49–73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
  • Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane" , Mathematische Annalen (en français), 36 (1): 157-160, doi : 10.1007 / BF01199438 , S2CID  179177780.
  • Sagan, Hans (1994), Courbes de remplissage d'espace , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR  1299533.

Liens externes [ modifier ]

  • Courbes de remplissage d'espace multidimensionnel
  • Preuve de l'existence d'une bijection à cut-the-knot

Applets Java:

  • Courbes de remplissage Peano Plane à couper le nœud
  • Les courbes de remplissage de l'avion de Hilbert et Moore à couper le nœud
  • Toutes les courbes de remplissage Peano Plane à couper le nœud