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Polygone

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Certains polygones de différents types: ouvert (à l'exclusion de sa limite), limite uniquement (à l'exclusion de l'intérieur), fermé (y compris à la fois la limite et l'intérieur) et auto-sécants.

En géométrie , un polygone ( / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) est un plan chiffre qui est décrite par un nombre fini de droites des segments de ligne reliés pour former une fermeture à chaîne polygonale ou circuit polygonal . La région du plan solide, le circuit de délimitation ou les deux ensemble peuvent être appelés un polygone.

Les segments d'un circuit polygonal sont appelés ses arêtes ou ses côtés , et les points de rencontre de deux arêtes sont les sommets (singulier: sommet) ou les coins du polygone . L'intérieur d'un polygone solide est parfois appelé son corps . Un n -gon est un polygone à n côtés; par exemple, un triangle est un 3-gon.

Un polygone simple est celui qui ne se coupe pas. Les mathématiciens se préoccupent souvent uniquement des chaînes polygonales de délimitation des polygones simples et définissent souvent un polygone en conséquence. Une limite polygonale peut être autorisée à se croiser, créant des polygones en étoile et d'autres polygones auto-sécants .

Un polygone est un exemple bidimensionnel du polytope plus général dans n'importe quel nombre de dimensions. Il existe de nombreuses autres généralisations de polygones définis à des fins différentes.

Étymologie

Le mot polygone dérive de l' adjectif grec πολύς ( polús ) «beaucoup», «beaucoup» et γωνία ( gōnía ) «coin» ou «angle». Il a été suggéré que γόνυ ( gónu ) «genou» pourrait être à l'origine de gon . [1]

Classification

Quelques types de polygones différents

Nombre de côtés

Les polygones sont principalement classés par le nombre de côtés. Consultez le tableau ci-dessous .

Convexité et non-convexité

Les polygones peuvent être caractérisés par leur convexité ou type de non-convexité:

  • Convexe : toute ligne tracée à travers le polygone (et non tangente à une arête ou à un coin) rencontre sa limite exactement deux fois. En conséquence, tous ses angles intérieurs sont inférieurs à 180 °. De manière équivalente, tout segment de ligne avec des extrémités sur la limite ne passe que par des points intérieurs entre ses extrémités.
  • Non convexe: une ligne peut être trouvée qui rencontre sa frontière plus de deux fois. De manière équivalente, il existe un segment de ligne entre deux points de limite qui passe à l'extérieur du polygone.
  • Simple : la limite du polygone ne se croise pas. Tous les polygones convexes sont simples.
  • Concave : non convexe et simple. Il y a au moins un angle intérieur supérieur à 180 °.
  • En forme d'étoile : tout l'intérieur est visible d'au moins un point, sans croiser aucune arête. Le polygone doit être simple et peut être convexe ou concave. Tous les polygones convexes sont en forme d'étoile.
  • Auto-intersectant : la limite du polygone se croise. Le terme complexe est parfois utilisé par opposition à simple , mais cet usage risque de confondre l'idée d'un polygone complexe comme celui qui existe dans le plan complexe de Hilbert constitué de deux dimensions complexes .
  • Polygone en étoile : un polygone qui s'auto-intersecte de manière régulière. Un polygone ne peut pas être à la fois une étoile et une étoile.

Égalité et symétrie

  • Équiangulaire : tous les angles de coin sont égaux.
  • Cycliques : tous les coins se trouvent sur un seul cercle , appelé cercle circonscrit .
  • Isogonale ou vertex-transitive : tous les coins se trouvent dans la même orbite de symétrie . Le polygone est également cyclique et équiangulaire.
  • Équilatéral : tous les bords sont de la même longueur. Le polygone n'a pas besoin d'être convexe.
  • Tangentiel : tous les côtés sont tangents à un cercle inscrit .
  • Isotoxal ou transitif sur les bords: tous les côtés se trouvent dans la même orbite de symétrie . Le polygone est également équilatéral et tangentiel.
  • Régulier : le polygone est à la fois isogonal et isotoxal . De manière équivalente, il est à la fois cyclique et équilatéral , ou à la fois équilatéral et équiangulaire . Un polygone régulier non convexe est appelé un régulier polygone étoile .

Divers

  • Rectiligne : les côtés du polygone se rencontrent à angle droit, c'est-à-dire que tous ses angles intérieurs sont de 90 ou 270 degrés.
  • Monotone par rapport à une ligne donnée L : chaque ligne orthogonale à L coupe le polygone pas plus de deux fois.

Propriétés et formules

La géométrie euclidienne est supposée partout.

Angles

Tout polygone a autant de coins que de côtés. Chaque coin a plusieurs angles. Les deux plus importants sont:

  • Angle intérieur - La somme des angles intérieurs d'un simple n -gon est ( n - 2) π radians ou ( n - 2) × 180 degrés . En effet, tout n -gonsimple(ayant n côtés) peut être considéré comme étant composé de ( n - 2) triangles, dont chacun a une somme angulaire de π radians ou 180 degrés. La mesure de tout angle intérieur d'un n -gonrégulier convexeest enradians ou endegrés. Les angles intérieurs des polygones d'étoiles réguliersont été étudiés pour la première fois par Poinsot, dans le même article dans lequel il décrit les quatre polyèdres en étoile régulière : pour un -gon régulier (un p -gon de densité centrale q ), chaque angle intérieur est en radians ou en degrés. [2]
  • Angle extérieur - L'angle extérieur est l' angle supplémentaire par rapport à l'angle intérieur. En traçant autour d'un n -gonconvexe, l'angle "tourné" à un coin est l'angle extérieur ou extérieur. Le traçage tout autour du polygone fait un tour complet, donc la somme des angles extérieurs doit être de 360 ​​°. Cet argument peut être généralisé aux polygones simples concaves, si les angles externes qui tournent dans la direction opposée sont soustraits du total tourné. En traçant autour d'un n -gon en général, la somme des angles extérieurs (le montant total que l'on tourne aux sommets) peut être n'importe quel multiple entier d de 360 ​​°, par exemple 720 ° pour un pentagramme et 0 ° pour un "huit" angulaire ouantiparallélogramme , où d est la densité ou l'étroitesse du polygone. Voir aussi orbite (dynamique) .

Zone

Coordonnées d'un pentagone non convexe.

Dans cette section, les sommets du polygone considéré sont considérés dans l'ordre. Pour plus de commodité dans certaines formules, la notation ( x n , y n ) = ( x 0 , y 0 ) sera également utilisée.

Si le polygone n'est pas auto-sécant (c'est-à-dire simple ), la zone signée est

ou, en utilisant des déterminants

est la distance au carré entre et [3] [4]

La zone signée dépend de l'ordre des sommets et de l' orientation du plan. Généralement, l'orientation positive est définie par la rotation (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) qui mappe l' axe x positif à l' axe y positif. Si les sommets sont ordonnés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est-à-dire selon l'orientation positive), la zone signée est positive; sinon, c'est négatif. Dans les deux cas, la formule d'aire est correcte en valeur absolue . C'est ce qu'on appelle communément la formule des lacets ou la formule de l'arpenteur. [5]

L'aire A d'un polygone simple peut également être calculée si les longueurs des côtés, a 1 , a 2 , ..., a n et les angles extérieurs , θ 1 , θ 2 , ..., θ n sont connus, de:

La formule a été décrite par Lopshits en 1963. [6]

Si le polygone peut être dessiné sur une grille également espacée de telle sorte que tous ses sommets soient des points de grille, le théorème de Pick donne une formule simple pour l'aire du polygone basée sur le nombre de points de grille intérieurs et limites: le premier nombre plus la moitié du dernier nombre, moins 1.

Dans chaque polygone de périmètre p et de zone A , l' inégalité isopérimétrique est vraie . [7]

Pour deux polygones simples de surface égale, le théorème de Bolyai-Gerwien affirme que le premier peut être coupé en morceaux polygonaux qui peuvent être réassemblés pour former le second polygone.

Les longueurs des côtés d'un polygone ne déterminent en général pas sa superficie. [8] Par contre, si le polygone est cyclique puis les côtés ne déterminer la zone. [9] De tous les n -gons avec des longueurs de côté données, celui avec la plus grande surface est cyclique. De tous les n -gons avec un périmètre donné, celui qui a la plus grande surface est régulier (et donc cyclique). [dix]

Polygones réguliers

De nombreuses formules spécialisées s'appliquent aux zones de polygones réguliers .

L'aire d'un polygone régulier est donnée en fonction du rayon r de son cercle inscrit et de son périmètre p par

Ce rayon est également appelé son apothème et est souvent représenté par un .

L'aire d'un n -gon régulier en termes de rayon R de son cercle circonscrit peut être exprimée de façon trigonométrique comme: [11] [12]

L'aire d'un n -gon régulier inscrit dans un cercle de rayon unitaire, avec un côté s et un angle intérieur, peut également être exprimée de manière trigonométrique comme:

Auto-intersectant

L'aire d'un polygone auto-sécant peut être définie de deux manières différentes, donnant des réponses différentes:

  • En utilisant les formules pour les polygones simples, nous permettons que des régions particulières dans le polygone puissent avoir leur aire multipliée par un facteur que nous appelons la densité de la région. Par exemple, le pentagone central convexe au centre d'un pentagramme a une densité de 2. Les deux régions triangulaires d'un quadrilatère croisé (comme une figure 8) ont des densités de signe opposé, et l'addition de leurs aires ensemble peut donner une aire totale de zéro pour la figure entière. [13]
  • En considérant les régions fermées comme des ensembles de points, nous pouvons trouver l'aire de l'ensemble de points inclus. Cela correspond à l'aire du plan couvert par le polygone ou à l'aire d'un ou plusieurs polygones simples ayant le même contour que celui qui se coupe. Dans le cas du quadrilatère croisé, il est traité comme deux triangles simples. [ citation nécessaire ]

Centroïde

En utilisant la même convention pour les coordonnées de sommet que dans la section précédente, les coordonnées du centre de gravité d'un polygone solide simple sont

Dans ces formules, la valeur signée de area doit être utilisée.

Pour les triangles ( n = 3 ), les centroïdes des sommets et de la forme solide sont les mêmes, mais, en général, ce n'est pas vrai pour n > 3 . Le centre de gravité de l'ensemble de sommets d'un polygone à n sommets a les coordonnées

Généralisations

L'idée d'un polygone a été généralisée de diverses manières. Certains des plus importants incluent:

  • Un polygone sphérique est un circuit d'arcs de grands cercles (côtés) et de sommets à la surface d'une sphère. Il permet le digon , un polygone n'ayant que deux côtés et deux coins, ce qui est impossible dans un plan plat. Les polygones sphériques jouent un rôle important dans la cartographie (création de cartes) et dans la construction par Wythoff des polyèdres uniformes .
  • Un polygone incliné ne se trouve pas dans un plan plat, mais zigzague dans trois dimensions (ou plus). Les polygones de Petrie des polytopes réguliers sont des exemples bien connus.
  • Un apeirogon est une séquence infinie de côtés et d'angles, qui n'est pas fermée mais qui n'a pas de fin car elle s'étend indéfiniment dans les deux sens.
  • Un apeirogon oblique est une séquence infinie de côtés et d'angles qui ne se trouvent pas dans un plan plat.
  • Un polygone complexe est une configuration analogue à un polygone ordinaire, qui existe dans le plan complexe de deux dimensions réelles et de deux dimensions imaginaires .
  • Un polygone abstrait est un ensemble algébrique partiellement ordonné représentant les différents éléments (côtés, sommets, etc.) et leur connectivité. On dit qu'un polygone géométrique réel est une réalisation du polygone abstrait associé. En fonction de la cartographie, toutes les généralisations décrites ici peuvent être réalisées.
  • Un polyèdre est un solide tridimensionnel délimité par des faces polygonales plates, analogue à un polygone en deux dimensions. Les formes correspondantes en quatre dimensions ou plus sont appelées polytopes . [14] (Dans d'autres conventions, les mots polyèdre et polytope sont utilisés dans n'importe quelle dimension, avec la distinction entre les deux qu'un polytope est nécessairement borné. [15] )

Appellation

Le mot polygone vient du latin tardif polygōnum (un nom), du grec πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), nom utilisation de neutre de πολύγωνος ( polygonos / polugōnos , l'adjectif masculin), signifiant «aux multiples angles». Les polygones individuels sont nommés (et parfois classés) en fonction du nombre de côtés, combinant un préfixe numérique dérivé du grec avec le suffixe -gon , par exemple pentagone , dodécagone . Le triangle , le quadrilatère et le nonagone sont des exceptions.

Au-delà des décagones (10 côtés) et des dodécagones (12 côtés), les mathématiciens utilisent généralement la notation numérique, par exemple 17-gon et 257-gon. [16]

Des exceptions existent pour les comptes secondaires qui sont plus facilement exprimés sous forme verbale (par exemple 20 et 30), ou sont utilisés par des non-mathématiciens. Certains polygones spéciaux ont également leurs propres noms; par exemple, le pentagone régulier en étoile est également connu sous le nom de pentagramme .

Noms de polygones et propriétés diverses
NomCôtésPropriétés
monogone1Pas généralement reconnu comme un polygone, [17] bien que certaines disciplines comme la théorie des graphes utilisent parfois le terme. [18]
digon2Pas généralement reconnu comme un polygone dans le plan euclidien, bien qu'il puisse exister en tant que polygone sphérique . [19]
triangle (ou trigone)3Le polygone le plus simple qui puisse exister dans le plan euclidien. Peut carreler l'avion.
quadrilatère (ou tétragon)4Le polygone le plus simple qui puisse se croiser; le polygone le plus simple qui peut être concave; le polygone le plus simple qui peut être non cyclique. Peut carreler l'avion.
Pentagone5[20] Le polygone le plus simple qui puisse exister sous la forme d'une étoile régulière. Un pentagone en étoile est connu sous le nom de pentagramme ou pentacle.
hexagone6[20] Peut carreler l'avion.
heptagone (ou septagone)7[20] Le polygone le plus simple tel que la forme régulière n'est pas constructible avec la boussole et la règle . Cependant, il peut être construit en utilisant une construction Neusis .
octogone8[20]
nonagon (ou enneagon)9[20] "Nonagon" mélange le latin [ novem = 9] avec le grec; «enneagon» est du grec pur.
décagonedix[20]
hendécagone (ou undécagone)11[20] Le polygone le plus simple tel que la forme régulière ne peut pas être construite avec la boussole, la règle et le trisecteur d'angle .
dodécagone (ou duodécagone)12[20]
tridécagone (ou triskaidécagon)13[20]
tétradécagon (ou tétrakaidécagon)14[20]
pentadécagone (ou pentakaidécagone)15[20]
hexadécagone (ou hexakaidecagon)16[20]
heptadécagon (ou heptakaidecagon)17Polygone constructible [16]
octadécagone (ou octakaidecagon)18[20]
enneadecagon (ou enneakaidecagon)19[20]
icosagone20[20]
icositetragon (ou icosikaitetragon)24[20]
triacontagone30[20]
tétracontagone (ou tessaracontagon)40[20] [21]
pentacontagone (ou pentecontagone)50[20] [21]
hexacontagone (ou hexécontagone)60[20] [21]
heptacontagon (ou hebdomecontagon)70[20] [21]
octacontagon (ou ogdoëcontagon)80[20] [21]
ennéacontagon (ou énénécontagone)90[20] [21]
hectogon (ou hécatontagon) [22]100[20]
257 gon257Polygone constructible [16]
chiliagon1000Les philosophes dont René Descartes , [23] Immanuel Kant , [24] David Hume , [25] ont utilisé le chiliagone comme exemple dans les discussions.
myriagone10 000Utilisé comme exemple dans certaines discussions philosophiques, par exemple dans les Méditations de Descartes sur la première philosophie
65537-gon65 537Polygone constructible [16]
mégagone [26] [27] [28]1 000 000Comme pour l'exemple de René Descartes du chiliagone, le polygone à millions de côtés a été utilisé comme une illustration d'un concept bien défini qui ne peut être visualisé. [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] Le mégagone est également utilisé comme illustration de la convergence de polygones réguliers vers un cercle. [36]
apeirogonUn polygone dégénéré à une infinité de côtés.

Construire des noms plus élevés

Pour construire le nom d'un polygone avec plus de 20 et moins de 100 arêtes, combinez les préfixes comme suit. [20] Le terme "kai" s'applique aux 13-gons et plus et a été utilisé par Kepler et préconisé par John H. Conway pour la clarté des nombres de préfixes concaténés dans la dénomination des polyèdres quasi - régularisés . [22]

DizainesetLessuffixe final
-kai-1-hena--gon
20icosi- (icosa- quand il est seul)2-di-
30triaconta- (ou triconta-)3-tri-
40tétraconta- (ou tessaraconta-)4-tétra-
50pentaconta- (ou penteconta-)5-penta-
60hexaconta- (ou hexeconta-)6-hexa-
70heptaconta- (ou hebdomeconta-)7-hepta-
80octaconta- (ou ogdoëconta-)8-octa-
90enneaconta- (ou eneneconta-)9-ennea-

Histoire

Image historique des polygones (1699)

Les polygones sont connus depuis l'Antiquité. Les polygones réguliers étaient connus des anciens Grecs, avec le pentagramme , un polygone régulier non convexe (polygone en étoile ), apparaissant dès le 7ème siècle avant JC sur un cratère d' Aristophane , trouvé à Caere et maintenant au musée du Capitole . [37] [38]

La première étude systématique connue des polygones non convexes en général a été réalisée par Thomas Bradwardine au 14ème siècle. [39]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard a généralisé l'idée de polygones au plan complexe, où chaque dimension réelle est accompagnée d'une dimension imaginaire , pour créer des polygones complexes . [40]

Dans la nature

La Chaussée des Géants , en Irlande du Nord

Les polygones apparaissent dans les formations rocheuses, le plus souvent sous forme de facettes plates de cristaux , où les angles entre les côtés dépendent du type de minéral à partir duquel le cristal est fabriqué.

Des hexagones réguliers peuvent se produire lorsque le refroidissement de la lave forme des zones de colonnes de basalte étroitement compactées , que l'on peut voir à la Chaussée des Géants en Irlande du Nord ou au Devil's Postpile en Californie .

En biologie , la surface du nid d' abeilles de cire fabriqué par les abeilles est un tableau d' hexagones , et les côtés et la base de chaque cellule sont également des polygones.

Infographie

En infographie , un polygone est une primitive utilisée dans la modélisation et le rendu. Ils sont définis dans une base de données, contenant des tableaux de sommets (les coordonnées des sommets géométriques , ainsi que d'autres attributs du polygone, tels que la couleur, l'ombrage et la texture), des informations de connectivité et des matériaux . [41] [42]

Toute surface est modélisée sous la forme d'une mosaïque appelée maillage polygonal . Si un maillage carré a n + 1 points (sommets) par côté, il y a n carrés dans le maillage, ou 2 n triangles carrés puisqu'il y a deux triangles dans un carré. Il y a ( n + 1) deux / 2 ( n 2 ) sommets par triangle. Où n est grand, cela approche la moitié. Ou, chaque sommet à l'intérieur du maillage carré relie quatre arêtes (lignes).

Le système d'imagerie appelle la structure des polygones nécessaires à la création de la scène à partir de la base de données. Celui-ci est transféré dans la mémoire active et enfin sur le système d'affichage (écran, moniteurs de télévision, etc.) afin que la scène puisse être visualisée. Au cours de ce processus, le système d'imagerie rend les polygones dans une perspective correcte prêts pour la transmission des données traitées au système d'affichage. Bien que les polygones soient bidimensionnels, ils sont placés via l'ordinateur système dans une scène visuelle dans l'orientation tridimensionnelle correcte.

En infographie et en géométrie informatique , il est souvent nécessaire de déterminer si un point donné P = ( x 0 , y 0 ) se trouve à l'intérieur d'un polygone simple donné par une séquence de segments de ligne. C'est ce qu'on appelle le point dans le test de polygone . [43]

Voir également

  • Opérations booléennes sur les polygones
  • Graphique complet
  • Polygone constructible
  • Polygone cyclique
  • Forme géométrique
  • Golygon
  • Liste des polygones
  • Polyform
  • Soupe polygonale
  • Triangulation polygonale
  • Polygone de précision
  • Géométrie synthétique
  • Carrelage
  • Puzzle de carrelage

Les références

Bibliographie

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  • Cromwell, P .; Polyèdres , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
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Remarques

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  42. ^ "le rendu direct3d, basé sur les sommets et les triangles" .
  43. ^ Schirra, Stefan (2008). "Quelle est la fiabilité des stratégies pratiques de point dans le polygone?". Dans Halperin, Dan; Mehlhorn, Kurt (éd.). Algorithmes - ESA 2008: 16e symposium européen annuel, Karlsruhe, Allemagne, 15-17 septembre 2008, Actes . Notes de cours en informatique. 5193 . Springer. 744–755. doi : 10.1007 / 978-3-540-87744-8_62 .

Liens externes

  • Weisstein, Eric W. "Polygone" . MathWorld .
  • Que sont les polyèdres? , avec des préfixes numériques grecs
  • Polygones, types de polygones et propriétés de polygones , avec animation interactive
  • Comment dessiner des polygones orthogonaux monochromes sur des écrans , par Herbert Glarner
  • comp.graphics.algorithms Foire aux questions , solutions aux problèmes mathématiques calculant des polygones 2D et 3D
  • Comparaison des différents algorithmes pour les opérations Polygon Boolean , compare les capacités, la vitesse et la robustesse numérique
  • Somme des angles intérieurs des polygones: une formule générale , Fournit une enquête Java interactive qui étend la formule de somme des angles intérieurs pour les polygones fermés simples pour inclure des polygones croisés (complexes)
FamilleUn nB nI 2 (p) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
Polygone régulierTriangleCarrép-gonHexagonePentagone
Polyèdre uniformeTétraèdreOctaèdreCubeDemicubeDodécaèdreIcosaèdre
4-polytope uniforme5 cellules16 cellulesTesseractDemitesseract24 cellules120 cellules600 cellules
Uniforme 5-polytope5-simplex5-orthoplex5 cubes5-demicube
Uniforme 6-polytope6 simplex6-orthoplex6-cube6-demicube1 222 21
Uniforme 7-polytope7-simplex7-orthoplex7-cube7-demicube1 322 313 21
Uniforme 8-polytope8 simplex8 orthoplex8 cubes8-demicube1 422 414 21
Uniforme 9-polytope9-simplex9-orthoplex9-cube9-demicube
Uniforme 10-polytope10-simplex10-orthoplex10-cube10-demicube
Uniforme n - polytopen - simplexn - orthoplexn - cuben - demicube1 k22 k1k 21n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytopepolytope régulierListe des polyèdres réguliers et composés