Linéarité

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La linéarité est la propriété d'une relation mathématique ( fonction ) qui peut être représentée graphiquement sous forme de ligne droite . La linéarité est étroitement liée à la proportionnalité . Des exemples en physique incluent la relation linéaire entre la tension et le courant dans un conducteur électrique ( loi d'Ohm ) et la relation entre la masse et le poids . En revanche, les relations plus compliquées ne sont pas linéaires .

Généralisée pour les fonctions à plus d'une dimension , la linéarité signifie la propriété d'une fonction d'être compatible avec l' addition et la mise à l'échelle , également appelée principe de superposition .

Le mot linéaire vient du latin linearis «qui visent ou ressemblant à une ligne ».

En mathématiques [ modifier ]

En mathématiques, une application linéaire ou une fonction linéaire f ( x ) est une fonction qui satisfait les deux propriétés: [1]

  • Additivité : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
  • Homogénéité de degré 1: fx ) = α f ( x ) pour tout α.

Ces propriétés sont connues sous le nom de principe de superposition. Dans cette définition, x n'est pas nécessairement un nombre réel , mais peut en général être un élément de n'importe quel espace vectoriel . Une définition plus spéciale de la fonction linéaire , ne coïncidant pas avec la définition de la carte linéaire, est utilisée en mathématiques élémentaires (voir ci-dessous).

Additivité seule implique l' homogénéité pour rationnelle α, puisque implique pour tout nombre naturel n par induction mathématique , puis implique . La densité des nombres rationnels dans les réels implique que toute fonction continue additive est homogène pour tout nombre réel α, et donc linéaire.

Le concept de linéarité peut être étendu aux opérateurs linéaires . Des exemples importants d'opérateurs linéaires incluent le dérivé considéré comme un opérateur différentiel et d'autres opérateurs construits à partir de celui-ci, tels que del et le laplacien . Lorsqu'une équation différentielle peut être exprimée sous forme linéaire, elle peut généralement être résolue en divisant l'équation en morceaux plus petits, en résolvant chacun de ces morceaux et en additionnant les solutions.

L'algèbre linéaire est la branche des mathématiques concernée par l'étude des vecteurs , des espaces vectoriels (également appelés `` espaces linéaires ''), des transformations linéaires (également appelées `` cartes linéaires '') et des systèmes d'équations linéaires.

Pour une description des équations linéaires et non linéaires, voir l'équation linéaire .

Polynômes linéaires [ modifier ]

Dans un usage différent de la définition ci-dessus, un polynôme de degré 1 est dit linéaire, car le graphique d'une fonction de cette forme est une ligne droite. [2]

Sur les réels, une équation linéaire est l'une des formes:

m est souvent appelé la pente ou le gradient ; b l' ordonnée à l'origine , qui donne le point d'intersection entre le graphe de la fonction et l' axe y .

Notez que cet usage du terme linéaire n'est pas le même que dans la section ci-dessus, car les polynômes linéaires sur les nombres réels ne satisfont en général ni l'additivité ni l'homogénéité. En fait, ils le font si et seulement si b = 0 . Ainsi, si b ≠ 0 , la fonction est souvent appelée fonction affine (voir plus généralement transformation affine ).

Fonctions booléennes [ modifier ]

En algèbre booléenne , une fonction linéaire est une fonction pour laquelle il existe de telle sorte que

, où

Notez que si , la fonction ci-dessus est considérée comme affine en algèbre linéaire (c'est-à-dire non linéaire).

Une fonction booléenne est linéaire si l'une des conditions suivantes s'applique à la table de vérité de la fonction :

  1. Dans chaque ligne dans laquelle la valeur de vérité de la fonction est T , il y a un nombre impair de Ts assignés aux arguments, et dans chaque ligne dans laquelle la fonction est F, il y a un nombre pair de Ts assigné aux arguments. Plus précisément, f (F, F, ..., F) = F , et ces fonctions correspondent à des applications linéaires sur l'espace vectoriel booléen.
  2. Dans chaque ligne dans laquelle la valeur de la fonction est T, il y a un nombre pair de Ts assigné aux arguments de la fonction; et dans chaque ligne dans laquelle la valeur de vérité de la fonction est F, il y a un nombre impair de Ts assignés aux arguments. Dans ce cas, f (F, F, ..., F) = T .

Une autre façon d'exprimer cela est que chaque variable fait toujours une différence dans la valeur de vérité de l'opération ou elle ne fait jamais de différence.

La négation , la logique biconditionnelle , exclusive ou , la tautologie et la contradiction sont des fonctions linéaires.

Physique [ modifier ]

En physique , la linéarité est une propriété des équations différentielles régissant de nombreux systèmes; par exemple, les équations de Maxwell ou l' équation de diffusion . [3]

La linéarité d'une équation différentielle homogène signifie que si deux fonctions f et g sont des solutions de l'équation, alors toute combinaison linéaire af + bg l' est également.

En instrumentation, la linéarité signifie qu'un changement donné dans une variable d'entrée donne le même changement dans la sortie de l'appareil de mesure: ceci est hautement souhaitable dans les travaux scientifiques. En général, les instruments sont presque linéaires sur une certaine plage et les plus utiles dans cette plage. En revanche, les sens humains sont très non linéaires: par exemple, le cerveau ignore complètement la lumière entrante à moins qu'elle ne dépasse un certain nombre seuil absolu de photons.

Electronique [ modifier ]

En électronique , la région de fonctionnement linéaire d'un dispositif, par exemple un transistor , est celle où une variable dépendante (telle que le courant du collecteur du transistor ) est directement proportionnelle à une variable indépendante (telle que le courant de base). Cela garantit qu'une sortie analogique est une représentation précise d'une entrée, généralement avec une amplitude plus élevée (amplifiée). Un exemple typique d'équipement linéaire est un amplificateur audio haute fidélité , qui doit amplifier un signal sans changer sa forme d'onde. D'autres sont des filtres linéaires , des régulateurs linéaires et des amplificateurs linéaires en général.

Dans la plupart des applications scientifiques et technologiques , par opposition aux applications mathématiques, quelque chose peut être décrit comme linéaire si la caractéristique est approximativement mais pas exactement une ligne droite; et la linéarité peut être valide seulement dans une certaine région de fonctionnement - par exemple, un amplificateur haute fidélité peut déformer un petit signal, mais suffisamment peu pour être acceptable (linéarité acceptable mais imparfaite); et peut se déformer très gravement si l'entrée dépasse une certaine valeur. [4]

Linéarité intégrale [ modifier ]

Pour un appareil électronique (ou autre appareil physique) qui convertit une quantité en une autre quantité, Bertram S. Kolts écrit: [5] [6]

Il existe trois définitions de base de la linéarité intégrale d'usage courant: la linéarité indépendante, la linéarité de base zéro et la linéarité terminale ou terminale. Dans chaque cas, la linéarité définit dans quelle mesure les performances réelles de l'appareil sur une plage de fonctionnement spécifiée se rapprochent d'une ligne droite. La linéarité est généralement mesurée en termes d'écart, ou de non-linéarité, par rapport à une ligne droite idéale et elle est généralement exprimée en termes de pourcentage de la pleine échelle, ou en ppm (parties par million) de la pleine échelle. En règle générale, la ligne droite est obtenue en effectuant un ajustement des moindres carrés des données. Les trois définitions varient dans la manière dont la ligne droite est positionnée par rapport aux performances réelles de l'appareil. En outre, ces trois définitions ignorent toutes les erreurs de gain ou de décalage qui peuvent être présentes dans les caractéristiques de performance du périphérique réel.

Formations tactiques militaires [ modifier ]

Dans les formations tactiques militaires , les «formations linéaires» ont été adaptées à partir de formations phalanges de brochets protégées par des armes de poing, vers des formations peu profondes d'armes de poing protégées par de moins en moins de piques. Ce type de formation s'est progressivement aminci jusqu'à son extrême à l'ère de la « Thin Red Line » de Wellington . Il a finalement été remplacé par un ordre d'escarmouche lorsque l'invention du fusil à chargement par la culasse a permis aux soldats de se déplacer et de tirer en petites unités mobiles, non soutenues par des formations à grande échelle de toute forme.

Art [ modifier ]

Le linéaire est l'une des cinq catégories proposées par l'historien d'art suisse Heinrich Wölfflin pour distinguer l' art «classique», ou de la Renaissance , du baroque . Selon Wölfflin, les peintres des XVe et début XVIe siècles ( Léonard de Vinci , Raphael ou Albrecht Dürer ) sont plus linéaires que les peintres baroques « picturaux » du XVIIe siècle ( Peter Paul Rubens , Rembrandt et Velázquez ) car ils utilisent principalement le contour pour créer une forme . [7] La linéarité dans l'art peut également être référencée dans l'art numérique. Par exemple, la fiction hypertexte peut être un exemple de récit non linéaire , mais il existe également des sites Web conçus pour aller d'une manière spécifiée et organisée, en suivant un chemin linéaire.

Musique [ modifier ]

En musique, l' aspect linéaire est la succession, soit des intervalles, soit de la mélodie , par opposition à la simultanéité ou à l' aspect vertical .

Mesure [ modifier ]

Dans la mesure, le terme «pied linéaire» fait référence au nombre de pieds dans une ligne droite de matériau (tel que du bois ou du tissu) généralement sans égard à la largeur. Il est parfois appelé à tort "pieds linéaires"; cependant, «linéaire» est généralement utilisé pour désigner des lignées d'ascendance ou d'hérédité. [1]

Voir aussi [ modifier ]

  • Actionneur linéaire
  • Élément linéaire
  • Système linéaire
  • Milieu linéaire
  • Programmation linéaire
  • Équation différentielle linéaire
  • Bilinéaire
  • Multilinéaire
  • Moteur linéaire
  • Scripts linéaires A et linéaires B.
  • Interpolation linéaire

Références [ modifier ]

  1. ^ Edwards, Harold M. (1995). Algèbre linéaire . Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.
  2. ^ Stewart, James (2008). Calcul: Early Transcendentals , 6e éd., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 , section 1.2 
  3. ^ Evans, Lawrence C. (2010) [1998], équations différentielles partielles (PDF) , études supérieures en mathématiques , 19 (2e éd.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 019 , ISBN  978-0-8218-4974-3, MR  2597943
  4. ^ Whitaker, Jerry C. (2002). Le manuel des systèmes de transmission RF . CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
  5. ^ Kolts, Bertram S. (2005). "Comprendre la linéarité et la monotonie" (PDF) . analogZONE. Archivé de l'original (PDF) le 4 février 2012 . Récupéré le 24 septembre 2014 .
  6. ^ Kolts, Bertram S. (2005). "Comprendre la linéarité et la monotonie" . Technologie de mesure électronique étrangère . 24 (5): 30–31 . Récupéré le 25 septembre 2014 .
  7. ^ Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, MD (éd.). Principes de l'histoire de l'art: le problème du développement du style dans l'art postérieur . New York: Douvres. pp.  18-72 .

Liens externes [ modifier ]

  • La définition du dictionnaire de la linéarité chez Wiktionary