Hyperbole

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The image shows a double cone in which a geometrical plane has sliced off parts of the top and bottom half; the boundary curve of the slice on the cone is the hyperbola. A double cone consists of two cones stacked point-to-point and sharing the same axis of rotation; it may be generated by rotating a line about an axis that passes through a point of the line.
Une hyperbole est une courbe ouverte à deux branches, l'intersection d'un plan avec les deux moitiés d'un double cône . Le plan n'a pas à être parallèle à l'axe du cône; l'hyperbole sera de toute façon symétrique.
Hyperbole (rouge): caractéristiques

En mathématiques , une hyperbole ( écouter ) (forme adjectif hyperbolique , écouter ) ( hyperboles au pluriel , ou hyperboles ( écouter )) est un type de courbe lisse située dans un plan , définie par ses propriétés géométriques ou par des équations dont elle est la solution ensemble. Une hyperbole a deux pièces, appelées composants connectés ou branches, qui sont des images miroir l'une de l'autre et ressemblent à deux arcs infinis . L'hyperbole est l'un des trois types de section conique , formée par l'intersection d'un planAbout this soundAbout this soundAbout this sound et un double cône . (Les autres sections coniques sont la parabole et l' ellipse . Un cercle est un cas particulier d'ellipse.) Si le plan coupe les deux moitiés du double cône mais ne passe pas par le sommet des cônes, alors la conique est une hyperbole .

Les hyperboles se présentent de plusieurs manières:

  • comme la courbe représentant la fonction dans le plan cartésien , [1]
  • comme le chemin suivi par l'ombre de la pointe d'un cadran solaire ,
  • sous la forme d'une orbite ouverte (par opposition à une orbite elliptique fermée), telle que l'orbite d'un engin spatial lors d'un basculement assisté par gravité d'une planète ou, plus généralement, de tout engin spatial dépassant la vitesse de fuite de la planète la plus proche,
  • comme le chemin d'une comète à apparition unique (une comète voyageant trop vite pour retourner dans le système solaire),
  • comme la trajectoire de diffusion d'une particule subatomique (agi par des forces répulsives au lieu de forces attractives mais le principe est le même),
  • en radionavigation , lorsque la différence entre les distances à deux points, mais pas les distances elles-mêmes, peut être déterminée,

etc.

Chaque branche de l'hyperbole a deux bras qui deviennent plus droits (courbure inférieure) plus loin du centre de l'hyperbole. Des bras opposés en diagonale, un de chaque branche, tendent à la limite vers une ligne commune, appelée asymptote de ces deux bras. Il y a donc deux asymptotes, dont l'intersection est au centre de symétrie de l'hyperbole, qui peut être considérée comme le point miroir sur lequel chaque branche se réfléchit pour former l'autre branche. Dans le cas de la courbe, les asymptotes sont les deux axes de coordonnées . [2]

Les hyperboles partagent de nombreuses propriétés analytiques des ellipses telles que l' excentricité , la concentration et la directrice . En règle générale, la correspondance peut être établie avec rien de plus qu'un changement de signe à un terme. De nombreux autres objets mathématiques ont leur origine dans l'hyperbole, tels que les paraboloïdes hyperboliques (surfaces de selle), les hyperboloïdes («corbeilles»), la géométrie hyperbolique ( la célèbre géométrie non euclidienne de Lobachevsky ), les fonctions hyperboliques (sinh, cosh, tanh, etc. .), et les espaces gyrovecteurs (une géométrie proposée pour une utilisation à la fois en relativitéet la mécanique quantique qui n'est pas euclidienne ).

Étymologie et histoire [ modifier ]

Le mot «hyperbole» dérive du grec ὑπερβολή , qui signifie «over-thrown» ou «excessif», dont dérive également le terme anglais hyperbole . Les hyperboles ont été découvertes par Menaechmus dans ses recherches sur le problème du doublement du cube , mais étaient alors appelées sections de cônes obtus. [3] On pense que le terme hyperbole a été inventé par Apollonius de Perga (c. 262 – c. 190 av. J.-C.) dans son travail définitif sur les sections coniques , les Coniques . [4] Les noms des deux autres sections coniques générales, l' ellipse et la parabole, dérivent des mots grecs correspondants pour «déficient» et «appliqué»; les trois noms sont empruntés à la terminologie pythagoricienne antérieure qui faisait référence à une comparaison du côté de rectangles de surface fixe avec un segment de ligne donné. Le rectangle pourrait être "appliqué" au segment (c'est-à-dire avoir une longueur égale), être plus court que le segment ou dépasser le segment. [5]

Définitions [ modifier ]

Comme lieu de points [ modifier le wikicode ]

Hyperbole: définition par les distances des points à deux points fixes (foyers)
Hyperbole: définition avec directrice circulaire

Une hyperbole peut être définie géométriquement comme un ensemble de points ( lieu de points ) dans le plan euclidien:

Une hyperbole est un ensemble de points, tel que pour tout point de l'ensemble, la différence absolue des distances à deux points fixes (les foyers ) est constante, généralement notée [6]

Le milieu du segment de droite joignant les foyers est appelé le centre de l'hyperbole. [7] La ligne passant par les foyers est appelée le grand axe . Il contient les sommets , qui ont une distance par rapport au centre. La distance des foyers au centre est appelée distance focale ou excentricité linéaire . Le quotient est l' excentricité .

L'équation peut être vue d'une manière différente (voir diagramme): Si est le cercle avec le milieu et le rayon , alors la distance d'un point de la branche droite au cercle est égale à la distance au foyer :

est appelée la directrice circulaire (liée au foyer ) de l'hyperbole. [8] [9] Pour obtenir la branche gauche de l'hyperbole, il faut utiliser la directrice circulaire liée à . Cette propriété ne doit pas être confondue avec la définition d'une hyperbole à l'aide d'une directrice (ligne) ci-dessous.

Hyperbole d'équation y = A / x [ modifier ]

Rotation du système de coordonnées pour décrire une hyperbole rectangulaire comme graphique d'une fonction
Trois hyperboles rectangulaires avec les axes de coordonnées comme asymptotes rouges: A = 1; magenta: A = 4; bleu: A = 9

Si le système de coordonnées xy pivote autour de l'origine de l'angle et que de nouvelles coordonnées sont attribuées, alors . L'hyperbole rectangulaire (dont les demi-axes sont égaux) a la nouvelle équation . Résoudre pour les rendements

Ainsi, dans un système à coordonnées xy , le graphe d'une fonction d'équation

est une hyperbole rectangulaire entièrement dans les premier et troisième quadrants avec
  • les axes de coordonnées sous forme d' asymptotes ,
  • la ligne comme axe majeur ,
  • le centre et le demi-axe
  • les sommets
  • le rectum semi-latus et le rayon de courbure aux sommets
  • l' excentricité linéaire et l'excentricité
  • la tangente au point

Une rotation de l'hyperbole d'origine résulte en une hyperbole rectangulaire entièrement dans les deuxième et quatrième quadrants, avec les mêmes asymptotes, centre, semi-latus rectum, rayon de courbure aux sommets, excentricité linéaire et excentricité que dans le cas de la rotation , avec équation

  • les demi-axes
  • la ligne comme axe majeur,
  • les sommets

Déplacer l'hyperbole avec l'équation de sorte que le nouveau centre soit , donne la nouvelle équation

et les nouvelles asymptotes sont et . Les paramètres de forme restent inchangés.

Par la propriété DirectriX [ modifier ]

Hyperbole: propriété Directrice
Hyperbole: définition avec propriété Directrice

Les deux droites à distance du centre et parallèles au petit axe sont appelées directrices de l'hyperbole (voir schéma).

Pour un point arbitraire de l'hyperbole, le quotient de la distance à un foyer et à la directrice correspondante (voir diagramme) est égal à l'excentricité:

La preuve de la paire découle du fait que et satisfaire l'équation

Le deuxième cas est prouvé de manière analogue.

Crayon de coniques avec un sommet commun et un semi-latus rectum commun

La déclaration inverse est également vraie et peut être utilisée pour définir une hyperbole (d'une manière similaire à la définition d'une parabole):

Pour tout point (focus), toute ligne (directrice) non traversante et tout nombre réel avec l'ensemble des points (lieu des points), pour lequel le quotient des distances au point et à la ligne est

est une hyperbole.

(Le choix donne une parabole et si une ellipse .)

Preuve

Laisser et supposer est un point sur la courbe. La directrice a l'équation . Avec , la relation produit les équations

et

La substitution donne

C'est l'équation d'une ellipse ( ) ou d'une parabole ( ) ou d'une hyperbole ( ). Toutes ces coniques non dégénérées ont en commun l'origine comme sommet (voir schéma).

Si , introduisez de nouveaux paramètres pour que , et alors l'équation ci-dessus devienne

qui est l'équation d'une hyperbole avec le centre , l' axe des x comme grand axe et le demi-axe majeur / mineur .

Hyperbole: construction d'une directrice
Construction d'une directrice

En raison du point de la directrice (voir diagramme) et de la mise au point sont inverses par rapport à l' inversion du cercle au cercle (dans le diagramme vert). Par conséquent, le point peut être construit en utilisant le théorème de Thales (non montré dans le diagramme). La directrice est la perpendiculaire à la ligne passant par le point . Construction alternative de : Le calcul montre que ce point est l'intersection de l'asymptote avec sa perpendiculaire traversante (voir schéma).

Comme section plane d'un cône [ modifier ]

Hyperbole (rouge): deux vues d'un cône et deux sphères de Dandelin d 1 , d 2

L'intersection d'un double cône vertical par un plan ne passant pas par le sommet avec une pente supérieure à la pente des droites sur le cône est une hyperbole (voir schéma: courbe rouge). Afin de prouver la propriété de définition d'une hyperbole (voir ci-dessus), on utilise deux sphères de Dandelin , qui sont des sphères qui touchent le cône le long de cercles , et le plan d'intersection (hyperbole) aux points et . Il s'avère: sont les foyers de l'hyperbole.

  1. Soit un point arbitraire de la courbe d'intersection.
  2. La génératrice du cône contenant intersecte le cercle en un point et le cercle en un point .
  3. Les segments de ligne et sont tangents à la sphère et, par conséquent, sont de longueur égale.
  4. Les segments de ligne et sont tangents à la sphère et, par conséquent, sont de longueur égale.
  5. Le résultat est la suivante : est indépendante du point d'hyperbole , parce que peu importe si le point est, doivent être sur des cercles , et le segment de ligne doit traverser le sommet. Par conséquent, lorsque le point se déplace le long de la courbe rouge (hyperbole), le segment de ligne tourne simplement autour de l'apex sans changer sa longueur.

Pin et la construction de la chaîne [ modifier ]

Hyperbole: construction de broches et de cordes

La définition d'une hyperbole par ses foyers et ses directrices circulaires (voir ci-dessus) peut être utilisée pour en dessiner un arc à l'aide d'épingles, d'une corde et d'une règle: [10]

(0) Choisissez les foyers , les sommets et l'une des directrices circulaires , par exemple (cercle avec rayon ) (1) Une règle est fixée à un point libre de rotation . Le point est marqué à distance . (2) Une chaîne de longueur est préparée. (3) Une extrémité de la chaîne est épinglée au point sur la règle, l'autre extrémité est épinglée au point . (4) Prenez un stylo et tenez la ficelle contre le bord de la règle. (5) Rotation de la règle autour




invite la plume à dessiner un arc de la branche droite de l'hyperbole, à cause de (voir la définition d'une hyperbole par des directrices circulaires ).

Steiner génération d'une hyperbole [ modifier ]

Hyperbole: génération Steiner
Hyperbole y = 1 / x : génération Steiner

La méthode suivante pour construire des points uniques d'une hyperbole repose sur la génération Steiner d'une section conique non dégénérée :

Given two pencils of lines at two points (all lines containing and , respectively) and a projective but not perspective mapping of onto , then the intersection points of corresponding lines form a non-degenerate projective conic section.

Pour la génération des points de l'hyperbole on utilise les crayons aux sommets . Soit un point de l'hyperbole et . Le segment de ligne est divisé en n segments également espacés et cette division est projetée parallèlement à la diagonale comme direction sur le segment de ligne (voir schéma). La projection parallèle fait partie de la cartographie projective entre les crayons à et nécessaires. Les points d'intersection de deux lignes liées quelconques et sont des points de l'hyperbole définie de manière unique.

Remarque: La subdivision pourrait être étendue au-delà des points et afin d'obtenir plus de points, mais la détermination des points d'intersection deviendrait plus imprécise. Une meilleure idée est d'étendre les points déjà construits par symétrie (voir animation).

Remarque:

  1. La génération Steiner existe également pour les ellipses et les paraboles.
  2. La génération Steiner est parfois appelée méthode de parallélogramme car on peut utiliser d'autres points plutôt que les sommets, qui commencent par un parallélogramme au lieu d'un rectangle.

Angles inscrits pour hyperboles y = a / ( x - b ) + c et la forme en 3 points [ modifier ]

Hyperbole: théorème d'angle inscrit

Une hyperbole avec équation est uniquement déterminée par trois points avec des coordonnées x et y différentes . Un moyen simple de déterminer les paramètres de forme utilise le théorème d'angle inscrit pour les hyperboles:

Pour mesurer un angle entre deux droites avec des équations dans ce contexte on utilise le quotient

De manière analogue au théorème d' angle inscrit pour les cercles, on obtient le

Théorème d'angle inscrit pour les hyperboles: ,: [11] [12]

Pour quatre points (voir diagramme), l'affirmation suivante est vraie:
Les quatre points sont sur une hyperbole d'équation si et seulement si les angles à et sont égaux au sens de la mesure ci-dessus. Cela signifie que si

(Preuve: calcul simple. Si les points sont sur une hyperbole, on peut supposer que l'équation de l'hyperbole est .)

Une conséquence du théorème d'angle inscrit pour les hyperboles est la

Forme en 3 points de l'équation d'une hyperbole:

L'équation de l'hyperbole déterminée par 3 points est la solution de l'équation
pour .

Comme une image affine de l'unité hyperbole x ² - y ² = 1 [ modifier ]

L'hyperbole comme image affine de l'hyperbole unitaire

Une autre définition d'une hyperbole utilise des transformations affines :

Toute hyperbole est l'image affine de l'hyperbole unitaire avec l'équation .
représentation paramétrique

Une transformation affine du plan euclidien a la forme , où est une matrice régulière (son déterminant n'est pas 0) et est un vecteur arbitraire. Si sont les vecteurs colonnes de la matrice , l'hyperbole unitaire est mappée sur l'hyperbole

est le centre, un point de l'hyperbole et un vecteur tangent en ce point.

sommets

En général, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires. Cela signifie, en général, ne sont pas les sommets de l'hyperbole. Mais pointez dans les directions des asymptotes. Le vecteur tangent au point est

Parce qu'à un sommet la tangente est perpendiculaire au grand axe de l'hyperbole on obtient le paramètre d'un sommet de l'équation

et donc de

qui donne

(Les formules ont été utilisées.)

Les deux sommets de l'hyperbole sont

représentation implicite

En résolvant la représentation paramétrique pour par la règle de Cramer et en utilisant , on obtient la représentation implicite

.
hyperbole dans l'espace

La définition d'une hyperbole dans cette section donne une représentation paramétrique d'une hyperbole arbitraire, même dans l'espace, si l'on permet d'être des vecteurs dans l'espace.

Comme une image affine de l'hyperbole y = 1 / x [ modifier ]

Hyperbole comme image affine de y = 1 / x

Parce que l'hyperbole unitaire est affinement équivalente à l'hyperbole , une hyperbole arbitraire peut être considérée comme l'image affine (voir section précédente) de l'hyperbole

est le centre de l'hyperbole, les vecteurs ont les directions des asymptotes et est un point de l'hyperbole. Le vecteur tangent est

À un sommet, la tangente est perpendiculaire au grand axe. D'où

et le paramètre d'un sommet est

équivaut à et sont les sommets de l'hyperbole.

Les propriétés suivantes d'une hyperbole sont facilement prouvées en utilisant la représentation d'une hyperbole présentée dans cette section.

Construction Tangent [ modifier ]

Construction tangente: asymptotes et P donnée → tangente

Le vecteur tangent peut être réécrit par factorisation:

Cela signifie que

la diagonale du parallélogramme est parallèle à la tangente au point de l'hyperbole (voir schéma).

Cette propriété permet de construire la tangente en un point de l'hyperbole.

Cette propriété d'une hyperbole est une version affine de la dégénérescence en 3 points du théorème de Pascal . [13]

Aire du parallélogramme gris

La zone du parallélogramme gris dans le diagramme ci-dessus est

et donc indépendant du point . La dernière équation découle d'un calcul pour le cas, où est un sommet et l'hyperbole sous sa forme canonique

Construction Point [ modifier ]

Construction ponctuelle: les asymptotes et P 1 sont donnés → P 2

Pour une hyperbole avec représentation paramétrique (par souci de simplicité, le centre est l'origine), ce qui suit est vrai:

Pour deux points quelconques, les points
sont colinéaires avec le centre de l'hyperbole (voir schéma).

La preuve simple est une conséquence de l'équation .

Cette propriété offre la possibilité de construire des points d'une hyperbole si les asymptotes et un point sont donnés.

Cette propriété d'une hyperbole est une version affine de la dégénérescence en 4 points du théorème de Pascal . [14]

Tangents-asymptotes-triangle [ modifier ]

Hyperbole: tangente-asymptotes-triangle

Par souci de simplicité, le centre de l'hyperbole peut être l'origine et les vecteurs ont la même longueur. Si la dernière hypothèse n'est pas remplie, on peut d'abord appliquer une transformation de paramètre (voir ci-dessus) afin de rendre l'hypothèse vraie. D'où les sommets, enjambent le petit axe et on obtient et .

For the intersection points of the tangent at point with the asymptotes one gets the points

The area of the triangle can be calculated by a 2 × 2 determinant:

(see rules for determinants). is the area of the rhombus generated by . The area of a rhombus is equal to one half of the product of its diagonals. The diagonals are the semi-axes of the hyperbola. Hence:

The area of the triangle is independent of the point of the hyperbola:

Reciprocation of a circle[edit]

La réciprocité d'un cercle B dans un cercle C produit toujours une section conique telle qu'une hyperbole. Le processus de "réciprocité dans un cercle C " consiste à remplacer chaque ligne et chaque point d'une figure géométrique par leur pôle et polaire correspondants , respectivement. Le pôle d'une ligne est l' inversion de son point le plus proche du cercle C , tandis que la polaire d'un point est l'inverse, à savoir, une ligne dont le point le plus proche de C est l'inversion du point.

The eccentricity of the conic section obtained by reciprocation is the ratio of the distances between the two circles' centers to the radius r of reciprocation circle C. If B and C represent the points at the centers of the corresponding circles, then

Since the eccentricity of a hyperbola is always greater than one, the center B must lie outside of the reciprocating circle C.

This definition implies that the hyperbola is both the locus of the poles of the tangent lines to the circle B, as well as the envelope of the polar lines of the points on B. Conversely, the circle B is the envelope of polars of points on the hyperbola, and the locus of poles of tangent lines to the hyperbola. Two tangent lines to B have no (finite) poles because they pass through the center C of the reciprocation circle C; the polars of the corresponding tangent points on B are the asymptotes of the hyperbola. The two branches of the hyperbola correspond to the two parts of the circle B qui sont séparés par ces points tangents.

Équation du second degré [ edit ]

Une hyperbole peut également être définie comme une équation du second degré dans les coordonnées cartésiennes ( x , y ) dans le plan ,

à condition que les constantes A xx , A xy , A yy , B x , B y et C satisfassent à la condition déterminante

Ce déterminant est classiquement appelé le discriminant de la section conique. [15]

Un cas particulier d'hyperbole - l' hyperbole dégénérée constituée de deux lignes qui se croisent - se produit lorsqu'un autre déterminant est zéro:

Ce déterminant Δ est parfois appelé le discriminant de la section conique. [16]

Compte tenu de la paramétrisation générale ci-dessus de l'hyperbole en coordonnées cartésiennes, l'excentricité peut être trouvée en utilisant la formule de la section conique # Excentricité en termes de coefficients .

Le centre ( x c , y c ) de l'hyperbole peut être déterminé à partir des formules

In terms of new coordinates, ξ = xxc and η = yyc, the defining equation of the hyperbola can be written

The principal axes of the hyperbola make an angle φ with the positive x-axis that is given by

Rotating the coordinate axes so that the x-axis is aligned with the transverse axis brings the equation into its canonical form

The major and minor semiaxes a and b are defined by the equations

où λ 1 et λ 2 sont les racines de l' équation quadratique

À titre de comparaison, l'équation correspondante pour une hyperbole dégénérée (constituée de deux droites qui se croisent) est

La ligne tangente à un point donné ( x 0 , y 0 ) sur l'hyperbole est définie par l'équation

E , F et G sont définis par

La droite normale à l'hyperbole au même point est donnée par l'équation

La ligne normale est perpendiculaire à la ligne tangente et les deux passent par le même point ( x 0 , y 0 ).

De l'équation

le foyer gauche est et le foyer droit est e est l'excentricité. Désignons les distances d'un point ( x, y ) aux foyers gauche et droit comme et Pour un point sur la branche droite,

et pour un point sur la branche gauche,

Cela peut être prouvé comme suit:

Si ( x , y ) est un point sur l'hyperbole, la distance au point focal gauche est

Au point focal droit, la distance est

Si ( x , y ) est un point sur la branche droite de l'hyperbole alors et

En soustrayant ces équations, on obtient

Si ( x, y ) est un point sur la branche gauche de l'hyperbole alors et

En soustrayant ces équations, on obtient

En coordonnées cartésiennes [ modifier ]

L' équation [ modifier ]

Si des coordonnées cartésiennes sont introduites de telle sorte que l'origine est le centre de l'hyperbole et que l' axe des x est le grand axe, alors l'hyperbole est appelée ouverture est-ouest et

les foyers sont les points , [17]
les sommets sont . [18]

Pour un point arbitraire, la distance au foyer est et au deuxième foyer . Le point est donc sur l'hyperbole si la condition suivante est remplie

Remove the square roots by suitable squarings and use the relation to obtain the equation of the hyperbola:

This equation is called the canonical form of a hyperbola, because any hyperbola, regardless of its orientation relative to the Cartesian axes and regardless of the location of its center, can be transformed to this form by a change of variables, giving a hyperbola that is congruent to the original (see below).

The axes of symmetry or principal axes are the transverse axis (containing the segment of length 2a with endpoints at the vertices) and the conjugate axis (containing the segment of length 2b perpendicular to the transverse axis and with midpoint at the hyperbola's center).[19] As opposed to an ellipse, a hyperbola has only two vertices: . The two points on the conjugate axes are not on the hyperbola.

It follows from the equation that the hyperbola is symmetric with respect to both of the coordinate axes and hence symmetric with respect to the origin.

Eccentricity[edit]

For a hyperbola in the above canonical form, the eccentricity is given by

Two hyperbolas are geometrically similar to each other – meaning that they have the same shape, so that one can be transformed into the other by rigid left and right movements, rotation, taking a mirror image, and scaling (magnification) – if and only if they have the same eccentricity.

Asymptotes[edit]

Hyperbola: semi-axes a,b, linear eccentricity c, semi latus rectum p
Hyperbola: 3 properties

Solving the equation (above) of the hyperbola for yields

It follows from this that the hyperbola approaches the two lines

for large values of . These two lines intersect at the center (origin) and are called asymptotes of the hyperbola [20]

With the help of the second figure one can see that

The perpendicular distance from a focus to either asymptote is (the semi-minor axis).

From the Hesse normal form of the asymptotes and the equation of the hyperbola one gets:[21]

The product of the distances from a point on the hyperbola to both the asymptotes is the constant which can also be written in terms of the eccentricity e as

From the equation of the hyperbola (above) one can derive:

The product of the slopes of lines from a point P to the two vertices is the constant

In addition, from (2) above it can be shown that[21]

The product of the distances from a point on the hyperbola to the asymptotes along lines parallel to the asymptotes is the constant

Semi-latus rectum[edit]

The length of the chord through one of the foci, perpendicular to the major axis of the hyperbola, is called the latus rectum. One half of it is the semi-latus rectum . A calculation shows

The semi-latus rectum may also be viewed as the radius of curvature at the vertices.

Tangent[edit]

The simplest way to determine the equation of the tangent at a point is to implicitly differentiate the equation of the hyperbola. Denoting dy/dx as y′, this produces

With respect to , the equation of the tangent at point is

A particular tangent line distinguishes the hyperbola from the other conic sections.[22] Let f be the distance from the vertex V (on both the hyperbola and its axis through the two foci) to the nearer focus. Then the distance, along a line perpendicular to that axis, from that focus to a point P on the hyperbola is greater than 2f. The tangent to the hyperbola at P intersects that axis at point Q at an angle ∠PQV of greater than 45°.

Rectangular hyperbola[edit]

In the case the hyperbola is called rectangular (or equilateral), because its asymptotes intersect at right angles. For this case, the linear eccentricity is , the eccentricity and the semi-latus rectum . The graph of the equation is a rectangular hyperbola.

Parametric representation with hyperbolic sine/cosine[edit]

Using the hyperbolic sine and cosine functions , a parametric representation of the hyperbola can be obtained, which is similar to the parametric representation of an ellipse:

which satisfies the Cartesian equation because

Further parametric representations are given in the section Parametric equations below.

Here a = b = 1 giving the unit hyperbola in blue and its conjugate hyperbola in green, sharing the same red asymptotes.

Conjugate hyperbola[edit]

Exchange and to obtain the equation of the conjugate hyperbola (see diagram):

also written as

In polar coordinates[edit]

Hyperbola: Polar coordinates with pole = focus
Hyperbola: Polar coordinates with pole = center

For pole = focus:

The polar coordinates used most commonly for the hyperbola are defined relative to the Cartesian coordinate system that has its origin in a focus and its x-axis pointing towards the origin of the "canonical coordinate system" as illustrated in the first diagram.
In this case the angle is called true anomaly.

Relative to this coordinate system one has that

and

for pole = center:

With polar coordinates relative to the "canonical coordinate system" (see second diagram) one has that

For the right branch of the hyperbola the range of is

Parametric equations[edit]

A hyperbola with equation can be described by several parametric equations:

  1. (rational representation).
  2. Tangent slope as parameter:
    A parametric representation, which uses the slope of the tangent at a point of the hyperbola can be obtained analogously to the ellipse case: Replace in the ellipse case by and use formulae for the hyperbolic functions. One gets
    is the upper, and the lower half of the hyperbola. The points with vertical tangents (vertices ) are not covered by the representation.
    The equation of the tangent at point is
    This description of the tangents of a hyperbola is an essential tool for the determination of the orthoptic of a hyperbola.

Hyperbolic functions[edit]

A ray through the unit hyperbola at the point , where is twice the area between the ray, the hyperbola, and the -axis. For points on the hyperbola below the -axis, the area is considered negative.

Just as the trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, so also the hyperbolic functions are defined in terms of the unit hyperbola, as shown in this diagram. In a unit circle, the angle (in radians) is equal to twice the area of the circular sector which that angle subtends. The analogous hyperbolic angle is likewise defined as twice the area of a hyperbolic sector.

Let be twice the area between the axis and a ray through the origin intersecting the unit hyperbola, and define as the coordinates of the intersection point. Then the area of the hyperbolic sector is the area of the triangle minus the curved region past the vertex at :

which simplifies to the area hyperbolic cosine

Solving for yields the exponential form of the hyperbolic cosine:

From one gets

and its inverse the area hyperbolic sine:

Other hyperbolic functions are defined according to the hyperbolic cosine and hyperbolic sine, so for example

Properties[edit]

The tangent bisects the angle between the lines to the foci[edit]

Hyperbola: the tangent bisects the lines through the foci

The tangent at a point bisects the angle between the lines .

Proof

Let be the point on the line with the distance to the focus (see diagram, is the semi major axis of the hyperbola). Line is the bisector of the angle between the lines . In order to prove that is the tangent line at point , one checks that any point on line which is different from cannot be on the hyperbola. Hence has only point in common with the hyperbola and is, therefore, the tangent at point .
From the diagram and the triangle inequality one recognizes that holds, which means: . But if is a point of the hyperbola, the difference should be .

Midpoints of parallel chords[edit]

Hyperbola: the midpoints of parallel chords lie on a line.
Hyperbola: the midpoint of a chord is the midpoint of the corresponding chord of the asymptotes.

The midpoints of parallel chords of a hyperbola lie on a line through the center (see diagram).

The points of any chord may lie on different branches of the hyperbola.

The proof of the property on midpoints is best done for the hyperbola . Because any hyperbola is an affine image of the hyperbola (see section below) and an affine transformation preserves parallelism and midpoints of line segments, the property is true for all hyperbolas:
For two points of the hyperbola

the midpoint of the chord is
the slope of the chord is

For parallel chords the slope is constant and the midpoints of the parallel chords lie on the line

Consequence: for any pair of points of a chord there exists a skew reflection with an axis (set of fixed points) passing through the center of the hyperbola, which exchanges the points and leaves the hyperbola (as a whole) fixed. A skew reflection is a generalization of an ordinary reflection across a line , where all point-image pairs are on a line perpendicular to .

Because a skew reflection leaves the hyperbola fixed, the pair of asymptotes is fixed, too. Hence the midpoint of a chord divides the related line segment between the asymptotes into halves, too. This means that . This property can be used for the construction of further points of the hyperbola if a point and the asymptotes are given.

If the chord degenerates into a tangent, then the touching point divides the line segment between the asymptotes in two halves.

Orthogonal tangents – orthoptic[edit]

Hyperbola with its orthoptic (magenta)

For a hyperbola the intersection points of orthogonal tangents lie on the circle .
This circle is called the orthoptic of the given hyperbola.

The tangents may belong to points on different branches of the hyperbola.

In case of there are no pairs of orthogonal tangents.

Pole-polar relation for a hyperbola[edit]

Hyperbola: pole-polar relation

Any hyperbola can be described in a suitable coordinate system by an equation . The equation of the tangent at a point of the hyperbola is If one allows point to be an arbitrary point different from the origin, then

point is mapped onto the line , not through the center of the hyperbola.

This relation between points and lines is a bijection.

The inverse function maps

line onto the point and
line onto the point

Such a relation between points and lines generated by a conic is called pole-polar relation or just polarity. The pole is the point, the polar the line. See Pole and polar.

By calculation one checks the following properties of the pole-polar relation of the hyperbola:

  • For a point (pole) on the hyperbola the polar is the tangent at this point (see diagram: ).
  • For a pole outside the hyperbola the intersection points of its polar with the hyperbola are the tangency points of the two tangents passing (see diagram: ).
  • For a point within the hyperbola the polar has no point with the hyperbola in common. (see diagram: ).

Remarks:

  1. The intersection point of two polars (for example: ) is the pole of the line through their poles (here: ).
  2. The foci and respectively and the directrices and respectively belong to pairs of pole and polar.

Pole-polar relations exist for ellipses and parabolas, too.

Other properties[edit]

  • The following are concurrent: (1) a circle passing through the hyperbola's foci and centered at the hyperbola's center; (2) either of the lines that are tangent to the hyperbola at the vertices; and (3) either of the asymptotes of the hyperbola.[23][24]
  • The following are also concurrent: (1) the circle that is centered at the hyperbola's center and that passes through the hyperbola's vertices; (2) either directrix; and (3) either of the asymptotes.[24]

Arc length[edit]

The arc length of a hyperbola does not have a closed-form expression. The upper half of a hyperbola can be parameterized as

Then the integral giving the arc length from to can be computed numerically:

After using the substitution , this can also be represented using the elliptic integral of the second kind with parameter :

Derived curves[edit]

Sinusoidal spirals: equilateral hyperbola (n = −2), line (n = −1), parabola (n = −1/2), cardioid (n = 1/2), circle (n = 1) and lemniscate of Bernoulli (n = 2), where rn = −1n cos in polar coordinates and their equivalents in rectangular coordinates.

Several other curves can be derived from the hyperbola by inversion, the so-called inverse curves of the hyperbola. If the center of inversion is chosen as the hyperbola's own center, the inverse curve is the lemniscate of Bernoulli; the lemniscate is also the envelope of circles centered on a rectangular hyperbola and passing through the origin. If the center of inversion is chosen at a focus or a vertex of the hyperbola, the resulting inverse curves are a limaçon or a strophoid, respectively.

Elliptic coordinates[edit]

A family of confocal hyperbolas is the basis of the system of elliptic coordinates in two dimensions. These hyperbolas are described by the equation

where the foci are located at a distance c from the origin on the x-axis, and where θ is the angle of the asymptotes with the x-axis. Every hyperbola in this family is orthogonal to every ellipse that shares the same foci. This orthogonality may be shown by a conformal map of the Cartesian coordinate system w = z + 1/z, where z= x + iy are the original Cartesian coordinates, and w=u + iv are those after the transformation.

Other orthogonal two-dimensional coordinate systems involving hyperbolas may be obtained by other conformal mappings. For example, the mapping w = z2 transforms the Cartesian coordinate system into two families of orthogonal hyperbolas.

Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles[edit]

Central projection of circles on a sphere: The center O of projection is inside the sphere, the image plane is red.
As images of the circles one gets a circle (magenta), ellipses, hyperbolas and lines. The special case of a parabola does not appear in this example.
(If center O were on the sphere, all images of the circles would be circles or lines; see stereographic projection).

Besides providing a uniform description of circles, ellipses, parabolas, and hyperbolas, conic sections can also be understood as a natural model of the geometry of perspective in the case where the scene being viewed consists of circles, or more generally an ellipse. The viewer is typically a camera or the human eye and the image of the scene a central projection onto an image plane, that is, all projection rays pass a fixed point O, the center. The lens plane is a plane parallel to the image plane at the lens O.

The image of a circle c is

a) a circle, if circle c is in a special position, for example parallel to the image plane and others (see stereographic projection),
b) an ellipse, if c has no point with the lens plane in common,
c) a parabola, if c has one point with the lens plane in common and
d) a hyperbola, if c has two points with the lens plane in common.

(Special positions where the circle plane contains point O are omitted.)

These results can be understood if one recognizes that the projection process can be seen in two steps: 1) circle c and point O generate a cone which is 2) cut by the image plane, in order to generate the image.

One sees a hyperbola whenever catching sight of a portion of a circle cut by one's lens plane. The inability to see very much of the arms of the visible branch, combined with the complete absence of the second branch, makes it virtually impossible for the human visual system to recognize the connection with hyperbolas.

Applications[edit]

Hyperbolas as declination lines on a sundial
The contact zone of a level supersonic aircraft's shockwave on flat ground (yellow) is a part of a hyperbola as the ground intersects the cone parallel to its axis

Sundials[edit]

Hyperbolas may be seen in many sundials. On any given day, the sun revolves in a circle on the celestial sphere, and its rays striking the point on a sundial traces out a cone of light. The intersection of this cone with the horizontal plane of the ground forms a conic section. At most populated latitudes and at most times of the year, this conic section is a hyperbola. In practical terms, the shadow of the tip of a pole traces out a hyperbola on the ground over the course of a day (this path is called the declination line). The shape of this hyperbola varies with the geographical latitude and with the time of the year, since those factors affect the cone of the sun's rays relative to the horizon. The collection of such hyperbolas for a whole year at a given location was called a pelekinon by the Greeks, since it resembles a double-bladed axe.

Multilateration[edit]

A hyperbola is the basis for solving multilateration problems, the task of locating a point from the differences in its distances to given points — or, equivalently, the difference in arrival times of synchronized signals between the point and the given points. Such problems are important in navigation, particularly on water; a ship can locate its position from the difference in arrival times of signals from a LORAN or GPS transmitters. Conversely, a homing beacon or any transmitter can be located by comparing the arrival times of its signals at two separate receiving stations; such techniques may be used to track objects and people. In particular, the set of possible positions of a point that has a distance difference of 2a from two given points is a hyperbola of vertex separation 2a whose foci are the two given points.

Path followed by a particle[edit]

The path followed by any particle in the classical Kepler problem is a conic section. In particular, if the total energy E of the particle is greater than zero (that is, if the particle is unbound), the path of such a particle is a hyperbola. This property is useful in studying atomic and sub-atomic forces by scattering high-energy particles; for example, the Rutherford experiment demonstrated the existence of an atomic nucleus by examining the scattering of alpha particles from gold atoms. If the short-range nuclear interactions are ignored, the atomic nucleus and the alpha particle interact only by a repulsive Coulomb force, which satisfies the inverse square law requirement for a Kepler problem.

Korteweg–de Vries equation[edit]

The hyperbolic trig function appears as one solution to the Korteweg–de Vries equation which describes the motion of a soliton wave in a canal.

Angle trisection[edit]

Trisecting an angle (AOB) using a hyperbola of eccentricity 2 (yellow curve)

As shown first by Apollonius of Perga, a hyperbola can be used to trisect any angle, a well studied problem of geometry. Given an angle, first draw a circle centered at its vertex O, which intersects the sides of the angle at points A and B. Next draw the line segment with endpoints A and B and its perpendicular bisector . Construct a hyperbola of eccentricity e=2 with as directrix and B as a focus. Let P be the intersection (upper) of the hyperbola with the circle. Angle POB trisects angle AOB.

To prove this, reflect the line segment OP about the line obtaining the point P' as the image of P. Segment AP' has the same length as segment BP due to the reflection, while segment PP' has the same length as segment BP due to the eccentricity of the hyperbola. As OA, OP', OP and OB are all radii of the same circle (and so, have the same length), the triangles OAP', OPP' and OPB are all congruent. Therefore, the angle has been trisected, since 3×POB = AOB.[25]

Efficient portfolio frontier[edit]

In portfolio theory, the locus of mean-variance efficient portfolios (called the efficient frontier) is the upper half of the east-opening branch of a hyperbola drawn with the portfolio return's standard deviation plotted horizontally and its expected value plotted vertically; according to this theory, all rational investors would choose a portfolio characterized by some point on this locus.

Biochemistry[edit]

In biochemistry and pharmacology, the Hill equation and Hill-Langmuir equation respectively describe biological responses and the formation of protein–ligand complexes as functions of ligand concentration. They are both rectangular hyperbolae.

Hyperbolas as plane sections of quadrics[edit]

Hyperbolas appear as plane sections of the following quadrics:

  • Elliptic cone
  • Hyperbolic cylinder
  • Hyperbolic paraboloid
  • Hyperboloid of one sheet
  • Hyperboloid of two sheets

See also[edit]

Other conic sections[edit]

  • Circle
  • Ellipse
  • Parabola
  • Degenerate conic

Other related topics[edit]

  • Elliptic coordinates, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolas.
  • Hyperbolic growth
  • Hyperbolic partial differential equation
  • Hyperbolic sector
  • Hyperbolic structure
  • Hyperbolic trajectory
  • Hyperboloid
  • Multilateration
  • Rotation of axes
  • Translation of axes
  • Unit hyperbola

Notes[edit]

  1. ^ Oakley (1944, p. 17)
  2. ^ Oakley (1944, p. 17)
  3. ^ Heath, Sir Thomas Little (1896), "Chapter I. The discovery of conic sections. Menaechmus", Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject, Cambridge University Press, pp. xvii–xxx.
  4. ^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics, Wiley, p. 73, ISBN 9780470630563, It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.
  5. ^ Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon, pp. 30–31
  6. ^ Protter & Morrey (1970, pp. 308–310)
  7. ^ Protter & Morrey (1970, p. 310)
  8. ^ Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
  9. ^ The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
  10. ^ Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 327
  11. ^ E. Hartmann: Lecture Note 'Planar Circle Geometries', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 93
  12. ^ W. Benz: Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
  13. ^ Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 33, (PDF; 757 kB)
  14. ^ Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 32, (PDF; 757 kB)
  15. ^ Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers, John Wiley and Sons, pp. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, Section 3.2, page 45
  16. ^ Korn, Granino A. and Korn, Theresa M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, Dover Publ., second edition, 2000: p. 40.
  17. ^ Protter & Morrey (1970, p. 310)
  18. ^ Protter & Morrey (1970, p. 310)
  19. ^ Protter & Morrey (1970, p. 310)
  20. ^ Protter & Morrey (1970, pp. APP-29–APP-30)
  21. ^ a b Mitchell, Douglas W., "A property of hyperbolas and their asymptotes", Mathematical Gazette 96, July 2012, 299–301.
  22. ^ J. W. Downs, Practical Conic Sections, Dover Publ., 2003 (orig. 1993): p. 26.
  23. ^ "Hyperbola". Mathafou.free.fr. Retrieved 26 August 2018.
  24. ^ a b "Archived copy". Archived from the original on 2017-02-02. Retrieved 2011-06-22.CS1 maint: archived copy as title (link)
  25. ^ This construction is due to Pappus of Alexandria (circa 300 A.D.) and the proof comes from Kazarinoff (1970, pg. 62).

References[edit]

  • Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round, Mineola, N.Y.: Dover, ISBN 0-486-42515-0
  • Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble
  • Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links[edit]

  • "Hyperbola", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
  • Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659
  • Weisstein, Eric W. "Hyperbola". MathWorld.