Disque (mathématiques)

En géométrie , un disque (également orthographié disque ) [1] est la région d'un plan délimitée par un cercle . Un disque est dit fermé s'il contient le cercle qui constitue sa frontière, et ouvert s'il ne le contient pas. [2]

Pour un rayon , un disque ouvert est généralement noté comme et un disque fermé est . Cependant, dans le domaine de la topologie , le disque fermé est généralement désigné par tandis que le disque ouvert est .

En coordonnées cartésiennes , le disque ouvert de centre et de rayon R est donné par la formule [1]

Le disque ouvert et le disque fermé ne sont pas topologiquement équivalents (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas homéomorphes ), car ils ont des propriétés topologiques différentes l'un de l'autre. Par exemple, chaque disque fermé est compact alors que chaque disque ouvert n'est pas compact. [5] Cependant du point de vue de la topologie algébrique ils partagent beaucoup de propriétés : tous les deux sont contractibles [6] et ainsi sont l'homotopie équivalente à un seul point. Cela implique que leurs groupes fondamentaux sont triviaux, et que tous les groupes d'homologie sont triviaux sauf le 0ème, qui est isomorphe à Z . La caractéristique d'Eulerd'un point (et donc aussi celui d'un disque fermé ou ouvert) vaut 1. [7]

Chaque application continue du disque fermé à lui-même a au moins un point fixe (nous n'exigeons pas que l'application soit bijective ou même surjective ); c'est le cas n =2 du théorème du point fixe de Brouwer . [8] L'énoncé est faux pour le disque ouvert : [9]

Considérons par exemple la fonction qui mappe chaque point du disque d'unité ouvert à un autre point du disque d'unité ouvert à droite de celui donné. Mais pour le disque unitaire fermé, il fixe chaque point sur le demi-cercle


Disque avec circonférence (C) en noir, diamètre (D) en cyan, rayon (R) en rouge et centre (O) en vert.
La distance moyenne à un emplacement à partir de points sur un disque
La distance moyenne d'un disque à un point interne
La distance moyenne d'un disque à un point externe
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