Différentiel d'une fonction

Le différentiel a été introduit pour la première fois via une définition intuitive ou heuristique par Isaac Newton et approfondi par Gottfried Leibniz , qui considérait le différentiel  dy comme un changement infiniment petit (ou infinitésimal ) de la valeur  y de la fonction, correspondant à un changement infiniment petit  dx dans l'argument x de la fonction  . Pour cette raison, le taux de variation instantané de y par rapport à x , qui est la valeur de la dérivée de la fonction, est désigné par la fraction

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

dans ce qu'on appelle la notation de Leibniz pour les dérivés. Le quotient dy / dx n'est pas infiniment petit ; c'est plutôt un nombre réel .

L'utilisation des infinitésimaux sous cette forme a été largement critiquée, par exemple par le célèbre pamphlet The Analyst de l'évêque Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) définit la différentielle sans faire appel à l'atomisme des infinitésimaux de Leibniz. ^{[1] [2]} Au lieu de cela, Cauchy, à la suite d'Alembert , inversé l'ordre logique de Leibniz et de ses successeurs: le dérivé lui - même est devenu l'objet fondamental, défini comme une limite de quotients de différence, et les écarts ont ensuite été définis en termes de il. C'est-à-dire que l'on était libre de définir la différentielle dy par une expression

${\style d'affichage dy=f'(x)\,dx}$

dans laquelle dy et dx sont simplement de nouvelles variables prenant des valeurs réelles finies, ^[3] non pas des infinitésimaux fixes comme ils l'avaient été pour Leibniz. ^[4]

Selon Boyer (1959 , p. 12), l'approche de Cauchy était une amélioration logique significative par rapport à l'approche infinitésimale de Leibniz car, au lieu d'invoquer la notion métaphysique d'infinitésimales, les quantités dy et dx pouvaient désormais être manipulées exactement de la même manière que toute autre quantité réelle de manière significative. L'approche conceptuelle globale de Cauchy aux différentiels reste la norme dans les traitements analytiques modernes, ^[5] bien que le dernier mot sur la rigueur, une notion entièrement moderne de la limite, soit finalement dû à Karl Weierstrass . ^[6]

Dans les traitements physiques, comme ceux appliqués à la théorie de la thermodynamique , la vision infinitésimale prévaut encore. Courant & John (1999 , p. 184) concilient l'utilisation physique des différentielles infinitésimales avec leur impossibilité mathématique comme suit. Les différentiels représentent des valeurs finies non nulles qui sont inférieures au degré de précision requis pour l'usage particulier auquel ils sont destinés. Ainsi, les « infinitésimaux physiques » n'ont pas besoin de faire appel à un infinitésimal mathématique correspondant pour avoir un sens précis.

À la suite des développements du vingtième siècle dans l'analyse mathématique et la géométrie différentielle , il est devenu clair que la notion de différentielle d'une fonction pouvait être étendue de diverses manières. En analyse réelle , il est plus souhaitable de traiter directement le différentiel comme la partie principale de l'incrément d'une fonction. Ceci conduit directement à la notion que la différentielle d'une fonction en un point est une fonctionnelle linéaire d'un incrément Δ x . Cette approche permet à la différentielle (sous forme d'application linéaire) d'être développée pour une variété d'espaces plus sophistiqués, donnant finalement lieu à des notions telles que la dérivée de Fréchet ou de Gateaux . De même, en géométrie différentielle , la différentielle d'une fonction en un point est une fonction linéaire d'un vecteur tangent (un "déplacement infiniment petit"), qui la présente comme une sorte de forme unique : la dérivée extérieure de la fonction. Dans le calcul non standard , les différentielles sont considérées comme des infinitésimaux, qui peuvent eux-mêmes être mis sur une base rigoureuse (voir différentielle (infinitésimal) ).

Le différentiel d'une fonction ƒ ( x ) en un point  x ₀ .

Le différentiel est défini dans les traitements modernes du calcul différentiel comme suit. ^[7] La différentielle d'une fonction f ( x ) d'une seule variable réelle x est la fonction df de deux variables réelles indépendantes x et Δ x donnée par

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

Un ou les deux arguments peuvent être supprimés, c'est-à-dire que l'on peut voir df ( x ) ou simplement df . Si y  =  f ( x ), le différentiel peut aussi s'écrire dy . Puisque dx ( x , Δ x ) = Δ x il est conventionnel d'écrire dx  = Δ x , de sorte que l'égalité suivante est vérifiée :

${\style d'affichage df(x)=f'(x)\,dx}$

Cette notion de différentiel est largement applicable lorsqu'une approximation linéaire d'une fonction est recherchée, dans laquelle la valeur de l'incrément Δ x est suffisamment petite. Plus précisément, si f est une fonction différentiable en x , alors la différence des valeurs y

${\displaystyle \Delta y{\stackrel {\rm {def}}{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}$

satisfait

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$

où l'erreur ε dans l'approximation satisfait ε /Δ x  → 0 lorsque Δ x  → 0. En d'autres termes, on a l'identité approximative

${\displaystyle \Delta y\approx dy}$

dans lequel l'erreur peut être rendue aussi petite que souhaitée par rapport à x en contraignant Δ x à être suffisamment petit ; c'est-à-dire,

${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$

comme Δ x  → 0. Pour cette raison, le différentiel d'une fonction est connu comme la partie principale (linéaire) de l'incrément d'une fonction : le différentiel est une fonction linéaire de l'incrément Δ x , et bien que l'erreur puisse être non linéaire, il tend vers zéro rapidement lorsque Δ x tend vers zéro.

Opérateur \ Fonction	${\style d'affichage f(x)}$	${\style d'affichage f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Différentiel	1: ${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: ré F = ré e F F X ' ré X + F oui ' ré oui + F vous ' ré vous + F v ' ré v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u} du+f'_{v}dv}
Dérivée partielle	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}= {\frac {\partial f}{\partial x}}}$
Dérivée totale	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{ u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0) }$

Suivant Goursat (1904 , I, §15), pour les fonctions de plus d'une variable indépendante,

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

le différentiel partiel de y par rapport à l'une quelconque des variables  x ₁ est la partie principale du changement de y résultant d'un changement  dx ₁ dans cette variable. Le différentiel partiel est donc

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

impliquant la dérivée partielle de y par rapport à  x ₁ . La somme des différentiels partiels par rapport à toutes les variables indépendantes est le différentiel total

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n },}$

qui est la partie principale de la variation de y résultant des variations des variables indépendantes  x _i .

Plus précisément, dans le contexte du calcul multivariable, à la suite de Courant (1937b) , si f est une fonction différentiable, alors par définition de la différentiabilité , l'incrément

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+ \Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{ 1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{ n}\Delta x_{n}\end{aligné}}}$

où les termes d'erreur ε _i tendent vers zéro lorsque les incréments Δ x _i tendent conjointement vers zéro. Le différentiel total est alors rigoureusement défini comme 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\ Delta x_{n}.}$

Puisque, avec cette définition,

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

on a

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\ ,dx_{n}.}$

Comme dans le cas d'une variable, l'identité approximative tient

${\displaystyle dy\approx \Delta y}$

dans lequel l'erreur totale peut être aussi petite que souhaitée par rapport à ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ en limitant l'attention à des incréments suffisamment petits.

Application du différentiel total à l'estimation de l'erreur

Dans la mesure, l'écart totale est utilisée dans l' estimation de l'erreur Δ f d'une fonction f sur la base des erreurs Δ x , Δ y , ... des paramètres x , y , .... En supposant que l'intervalle est suffisamment court pour que le changement soit approximativement linéaire :

Δ f ( x ) = f » ( x ) × Δ x

et que toutes les variables sont indépendantes, alors pour toutes les variables,

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

En effet, la dérivée f _x par rapport au paramètre particulier x donne la sensibilité de la fonction f à une variation de x , en particulier l'erreur x . Comme ils sont supposés indépendants, l'analyse décrit le pire des cas. Les valeurs absolues des erreurs composantes sont utilisées, car après un calcul simple, la dérivée peut avoir un signe négatif. De ce principe découlent les règles d'erreur de sommation, multiplication, etc., par exemple :

Soit f( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _un Δ a + f _b Δ b ; évaluer les dérivés

Δ f = b Δ a + a Δ b ; en divisant par f , qui est a × b

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

C'est-à-dire qu'en multiplication, l' erreur relative totale est la somme des erreurs relatives des paramètres.

Pour illustrer comment cela dépend de la fonction considérée, considérons le cas où la fonction est f ( a , b ) = a ln b à la place. Ensuite, on peut calculer que l'estimation d'erreur est

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

avec un facteur ' ln b ' supplémentaire introuvable dans le cas d'un produit simple. Ce facteur supplémentaire tend à réduire l'erreur, car ln b n'est pas aussi grand que a nu  b .

Les différentiels d'ordre supérieur d'une fonction y  =  f ( x ) d'une seule variable x peuvent être définis via : ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2}, }$

et en général,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

De manière informelle, cela motive la notation de Leibniz pour les dérivés d'ordre supérieur

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

Lorsque la variable indépendante x elle-même est autorisée à dépendre d'autres variables, alors l'expression devient plus compliquée, car elle doit également inclure des différentiels d'ordre supérieur dans x lui-même. Ainsi, par exemple,

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3} y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligné }}}$

et ainsi de suite.

Des considérations similaires s'appliquent à la définition des différentiels d'ordre supérieur des fonctions de plusieurs variables. Par exemple, si f est une fonction de deux variables x et y , alors

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{ k}\partial y^{nk}}}(dx)^{k}(dy)^{nk},}$

où ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$est un coefficient binomial . Dans plus de variables, une expression analogue est valable, mais avec un développement multinomial approprié plutôt qu'un développement binomial. ^[9]

Les différentiels d'ordre supérieur dans plusieurs variables deviennent également plus compliqués lorsque les variables indépendantes sont elles-mêmes autorisées à dépendre d'autres variables. Par exemple, pour une fonction f de x et y qui peuvent dépendre de variables auxiliaires, on a

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right )+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

En raison de cette infélicité notationnelle, l'utilisation de différentiels d'ordre supérieur a été vivement critiquée par Hadamard 1935 , qui a conclu :

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

A mon avis, rien du tout.

C'est-à-dire : Enfin, qu'est-ce que l'égalité [...] ? A mon avis, rien du tout. Malgré ce scepticisme, les différentiels d'ordre supérieur ont émergé comme un outil important dans l'analyse. ^[dix]

Dans ces contextes, la différentielle d'ordre n de la fonction f appliquée à un incrément Δ x est définie par

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right| _{t=0}}$

ou une expression équivalente, telle que

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

où ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$est un n ième différence directe avec incrément t Δ x .

Cette définition a également un sens si f est une fonction de plusieurs variables (par souci de simplicité pris ici comme un argument vectoriel). Alors la n ième différentielle ainsi définie est une fonction homogène de degré n dans l'incrément vectoriel x . De plus, la série de Taylor de f au point x est donnée par

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+ \cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

La dérivée de Gateaux d' ordre supérieur généralise ces considérations aux espaces dimensionnels infinis.

Un certain nombre de propriétés de la différentielle découlent directement des propriétés correspondantes de la dérivée, de la dérivée partielle et de la dérivée totale. Ceux-ci incluent : ^[11]

• Linéarité : Pour les constantes a et b et les fonctions dérivables f et g ,

${\style d'affichage d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Règle du produit : Pour deux fonctions dérivables f et g ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

Une opération d avec ces deux propriétés est connue en algèbre abstraite comme une dérivation . Ils impliquent la règle du Pouvoir

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

De plus, diverses formes de la règle de la chaîne tiennent, avec un niveau de généralité croissant : ^[12]

• Si y  =  f ( u ) est une fonction dérivable de la variable u et u  =  g ( x ) est une fonction dérivable de x , alors

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• Si y = f ( x ₁ , ..., x _n ) et que toutes les variables  x ₁ , ...,  x _n dépendent d' une autre variable  t , alors par la règle de la chaîne pour les dérivées partielles , on a

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1 }}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned }}}$

Heuristiquement, la règle de la chaîne pour plusieurs variables peut elle-même être comprise en divisant les deux côtés de cette équation par la quantité infiniment petite dt .

• Des expressions analogues plus générales sont valables, dans lesquelles les variables intermédiaires x _i dépendent de plus d'une variable.

Une notion cohérente de différentiel peut être développée pour une fonction f  : R ⁿ → R ^m entre deux espaces euclidiens . Soit x ,Δ x  ∈  R ⁿ une paire de vecteurs euclidiens . L'incrément de la fonction f est

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

S'il existe une matrice m  ×  n A telle que

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

dans laquelle le vecteur ε  → 0 comme Δ x  → 0, alors f est par définition dérivable au point x . La matrice A est parfois appelée matrice Jacobienne , et la transformation linéaire qui associe à l'incrément Δ x  ∈  R ⁿ le vecteur A Δ x  ∈  R ^m est, dans ce cadre général, appelée différentielle df ( x ) de f au point x . C'est précisément la dérivée de Fréchet , et la même construction peut être utilisée pour une fonction entre n'importe quel espace de Banach .

Un autre point de vue fructueux est de définir le différentiel directement comme une sorte de dérivée directionnelle :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\ mathbf {x} )}{t}}=\gauche.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

c'est l'approche déjà adoptée pour définir les différentiels d'ordre supérieur (et c'est presque la définition énoncée par Cauchy). Si t représente le temps et la position x , alors h représente une vitesse au lieu d'un déplacement comme nous l'avons considéré jusqu'ici. Cela donne encore un autre raffinement de la notion de différentiel : qu'il devrait être une fonction linéaire d'une vitesse cinématique. L'ensemble de toutes les vitesses passant par un point donné de l'espace est connu sous le nom d' espace tangent , et donc df donne une fonction linéaire sur l'espace tangent : une forme différentielle . Avec cette interprétation, la différentielle de f est connue sous le nom de dérivée extérieure et a une large application en géométrie différentielle car la notion de vitesses et l'espace tangent ont un sens sur toute variété différentiable . Si, en plus, la valeur de sortie de f représente également une position (dans un espace euclidien), alors une analyse dimensionnelle confirme que la valeur de sortie de df doit être une vitesse. Si l'on traite le différentiel de cette manière, il est alors connu sous le nom de poussée en avant car il « pousse » les vitesses d'un espace source vers des vitesses dans un espace cible.

Bien que la notion d'avoir un incrément infinitésimal dx ne soit pas bien définie dans l' analyse mathématique moderne , il existe une variété de techniques pour définir le différentiel infinitésimal afin que le différentiel d'une fonction puisse être traité d'une manière qui n'entre pas en conflit avec la notation de Leibniz . Ceux-ci inclus:

• Définir le différentiel comme une sorte de forme différentielle , plus précisément la dérivée extérieure d'une fonction. Les incréments infinitésimaux sont alors identifiés avec des vecteurs dans l' espace tangent en un point. Cette approche est populaire dans la géométrie différentielle et les domaines connexes, car elle se généralise facilement aux mappages entre les variétés différentiables .
• Les différentiels comme éléments nilpotents des anneaux commutatifs . Cette approche est populaire en géométrie algébrique . ^[13]
• Différentielles dans les modèles lisses de la théorie des ensembles. Cette approche est connue sous le nom de géométrie différentielle synthétique ou analyse infinitésimale lisse et est étroitement liée à l'approche géométrique algébrique, sauf que les idées de la théorie des topos sont utilisées pour cacher les mécanismes par lesquels les infinitésimaux nilpotents sont introduits. ^[14]
• Différentiels comme infinitésimaux dans les systèmes de nombres hyperréels , qui sont des extensions des nombres réels qui contiennent des infinitésimaux inversibles et des nombres infiniment grands. C'est l'approche de l' analyse non standard lancée par Abraham Robinson . ^[15]

Les différentiels peuvent être utilisés efficacement en analyse numérique pour étudier la propagation d'erreurs expérimentales dans un calcul, et donc la stabilité numérique globale d'un problème ( Courant 1937a ). Supposons que la variable x représente le résultat d'une expérience et que y soit le résultat d'un calcul numérique appliqué à x . La question est de savoir dans quelle mesure les erreurs dans la mesure de x influencent le résultat du calcul de y . Si x est connu à Δ x près de sa vraie valeur, alors le théorème de Taylor donne l'estimation suivante sur l'erreur Δ y dans le calcul de y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

où ξ = x + θ Δ x pour un certain 0 < θ < 1 . Si Δ x est petit, alors le terme du second ordre est négligeable, de sorte que Δ y est, à des fins pratiques, bien approché par dy = f' ( x )Δ x .

Le différentiel est souvent utile pour réécrire une équation différentielle

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

sous la forme

${\style d'affichage dy=g(x)\,dx,}$

en particulier lorsqu'on veut séparer les variables .

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