Diagonale

Les diagonales d'un cube avec un côté de longueur 1. AC '(montré en bleu) est une diagonale d'espace avec une longueur , tandis que AC (montré en rouge) est une diagonale de face et a une longueur .${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

En géométrie , une diagonale est un segment de ligne joignant deux sommets d'un polygone ou d'un polyèdre , lorsque ces sommets ne sont pas sur la même arête . De manière informelle, toute ligne en pente est appelée diagonale. Le mot diagonale dérive du grec ancien διαγώνιος diagonios , ^[1] «d'angle à angle» (de διά- dia- , «à travers», «à travers» et γωνία gonia , «angle», lié à gony «genou»);il a été utilisé à la fois par Strabon ^[2] et Euclid ^[3]pour désigner une ligne reliant deux sommets d'un losange ou d'un cuboïde , ^[4] et plus tard adopté en latin comme diagonus ("ligne oblique").

En algèbre matricielle , une diagonale d'une matrice carrée est un ensemble d'entrées s'étendant d'un coin au coin le plus éloigné.

Il existe également d'autres utilisations non mathématiques.

Les utilisations non mathématiques [ modifier ]

En ingénierie , une entretoise diagonale est une poutre utilisée pour entretenir une structure rectangulaire (comme un échafaudage ) pour résister à de fortes forces qui la poussent; bien qu'on l'appelle une diagonale, en raison de considérations pratiques, les accolades diagonales ne sont souvent pas reliées aux coins du rectangle.

Les pinces diagonales sont des pinces coupantes définies par les arêtes tranchantes des mâchoires qui coupent le rivet de jonction à un angle ou "sur une diagonale", d'où le nom.

Un arrimage diagonal est un type d'arrimage utilisé pour lier les longerons ou les poteaux ensemble appliqué de sorte que les arrimage croisent les poteaux à un angle.

Dans le football d'association , le système de contrôle diagonal est la méthode utilisée par les arbitres et les arbitres assistants pour se positionner dans l'un des quatre quadrants du terrain.

Polygones [ modifier ]

Appliquée à un polygone , une diagonale est un segment de ligne joignant deux sommets non consécutifs. Par conséquent, un quadrilatère a deux diagonales, joignant des paires opposées de sommets. Pour tout polygone convexe , toutes les diagonales sont à l'intérieur du polygone, mais pour les polygones rentrants , certaines diagonales sont à l'extérieur du polygone.

Tout polygone à n côtés ( n ≥ 3), convexe ou concave , a des diagonales, car chaque sommet a des diagonales vers tous les autres sommets sauf lui-même et les deux sommets adjacents, ou n  - 3 diagonales, et chaque diagonale est partagée par deux sommets.${\ displaystyle {\ tfrac {n (n-3)} {2}}}$

Régions formées par des diagonales [ modifier ]

Dans un polygone convexe , si trois diagonales ne sont pas concurrentes en un seul point à l'intérieur, le nombre de régions dans lesquelles les diagonales divisent l'intérieur est donné par

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

Pour n -gons avec n = 3, 4, ... le nombre de régions est ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 ...

Il s'agit de la séquence OEIS A006522. ^[6]

Intersections de diagonales [ modifier ]

Si trois diagonales d'un polygone convexe ne sont pas concurrentes en un point à l'intérieur, le nombre d'intersections intérieures de diagonales est donné par . ^{[7] [8]} Ceci est vrai, par exemple, pour tout polygone régulier avec un nombre impair de côtés. La formule découle du fait que chaque intersection est uniquement déterminée par les quatre extrémités des deux diagonales qui se croisent: le nombre d'intersections est donc le nombre de combinaisons des n sommets quatre à la fois.${\displaystyle {\binom {n}{4}}}$

Polygones réguliers [ modifier ]

Un triangle n'a pas de diagonales.

Un carré a deux diagonales de même longueur, qui se croisent au centre du carré. Le rapport d'une diagonale à un côté est${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

Un pentagone régulier a cinq diagonales toutes de la même longueur. Le rapport d'une diagonale à un côté est le nombre d' or ,${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

Un hexagone régulier a neuf diagonales: les six plus courtes sont égales l'une à l'autre en longueur; les trois plus longs sont égaux en longueur et se coupent au centre de l'hexagone. Le rapport d'une longue diagonale à un côté est de 2, et le rapport d'une courte diagonale à un côté est de .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Un heptagone régulier a 14 diagonales. Les sept plus courts sont égaux et les sept plus longs s'égalent. L'inverse du côté est égal à la somme des inverses d'une diagonale courte et longue.

Dans tout n -gon régulier avec n pair, les longues diagonales se coupent toutes au centre du polygone.

Polyèdres [ modifier ]

Un polyèdre (un objet solide dans un espace tridimensionnel , délimité par des faces bidimensionnelles ) peut avoir deux types de diagonales différents: des diagonales de face sur les différentes faces, reliant des sommets non adjacents sur la même face; et les diagonales de l'espace , entièrement à l'intérieur du polyèdre (sauf pour les extrémités sur les sommets).

Tout comme un triangle n'a pas de diagonales, de même un tétraèdre (avec quatre faces triangulaires) n'a pas de diagonales de face et pas de diagonales d'espace.

Un cuboïde a deux diagonales sur chacune des six faces et quatre diagonales d'espace.

Matrices [ modifier ]

Dans le cas d'une matrice carrée , la diagonale principale ou principale est la ligne diagonale d'entrées allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. ^{[9] [10] [11]} Pour une matrice avec un index de ligne spécifié par et un index de colonne spécifié par , ce serait des entrées avec . Par exemple, la matrice d'identité peut être définie comme ayant des entrées de 1 sur la diagonale principale et des zéros ailleurs:${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

La diagonale du haut à droite vers le bas à gauche est parfois décrite comme la diagonale mineure ou antidiagonale . Les entrées hors diagonale sont celles qui ne sont pas sur la diagonale principale. Une matrice diagonale est une matrice dont les entrées hors diagonale sont toutes nulles. ^{[12] [13]}

Une entrée superdiagonale est celle qui est directement au-dessus et à droite de la diagonale principale. ^{[14] [15]} Tout comme les entrées diagonales sont celles avec , les entrées superdiagonales sont celles avec . Par exemple, les entrées non nulles de la matrice suivante se trouvent toutes dans la superdiagonale:${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

De même, une entrée sous- diagonale est celle qui se trouve directement en dessous et à gauche de la diagonale principale, c'est-à-dire une entrée avec . ^[16] Les diagonales générales de la matrice peuvent être spécifiées par un indice mesuré par rapport à la diagonale principale: la diagonale principale a ; la superdiagonale a ; la sous-diagonale a ; et en général, la diagonale est constituée des entrées avec .${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

Géométrie [ modifier ]

Par analogie, le sous - ensemble du produit cartésien X × X de tout ensemble X avec lui-même, constitué de toutes les paires (x, x), est appelé la diagonale, et est le graphe de la relation d' égalité sur X ou de manière équivalente le graphe du fonction d'identité de X à x . Cela joue un rôle important dans la géométrie; par exemple, les points fixes d'une application F de X à lui-même peuvent être obtenus en coupant le graphe de F avec la diagonale.

Dans les études géométriques, l'idée d'intersection de la diagonale avec elle - même est courante, non pas directement, mais en la perturbant au sein d'une classe d'équivalence . Ceci est lié à un niveau profond avec la caractéristique d'Euler et les zéros des champs de vecteurs . Par exemple, le cercle S ¹ a les nombres de Betti 1, 1, 0, 0, 0, et donc la caractéristique d'Euler 0. Une manière géométrique d'exprimer cela est de regarder la diagonale sur le deux tore S ¹ xS ¹ et d'observer que il peut se déplacer d'elle - mêmepar le petit mouvement (θ, θ) vers (θ, θ + ε). En général, le numéro d'intersection du graphe d'une fonction avec la diagonale peut être calculé en utilisant l'homologie via le théorème du point fixe de Lefschetz ; l'auto-intersection de la diagonale est le cas particulier de la fonction d'identité.

Voir aussi [ modifier ]

• Jordan forme normale
• Diagonale principale
• Foncteur diagonal

Notes [ modifier ]

Références [ modifier ]

• Bronson, Richard (1970), Méthodes Matrix: Introduction , New York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices et transformations linéaires , lecture: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964), Thèmes en algèbre , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), l' algèbre linéaire et la théorie des matrices (2e éd.), New York: Wiley , LCCN  76091646

Liens externes [ modifier ]

Recherchez diagonal dans Wiktionary, le dictionnaire gratuit.

• Diagonales d'un polygone avec animation interactive
• Diagonale polygonale de MathWorld .
• Diagonale d'une matrice de MathWorld .