Nombre complexe

En mathématiques , un nombre complexe est un nombre qui peut être exprimé sous la forme $a + bi$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels , et $i$ est un symbole appelé unité imaginaire , et satisfaisant l'équation $i 2 = -1$ . Puisqu'aucun nombre «réel» ne satisfait cette équation, $j'ai$ été appelé nombre imaginaire par René Descartes . Pour le nombre complexe $a + bi$ , $a$ est appelé lela partie réelle et $b$ est appelée la partie imaginaire . L'ensemble des nombres complexes est désigné par l'un ou l'autre des symboles ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ou $C$ . Malgré la nomenclature historique «imaginaire», les nombres complexes sont considérés dans les sciences mathématiques comme tout aussi «réels» que les nombres réels et sont fondamentaux dans de nombreux aspects de la description scientifique du monde naturel. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[a]

Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres

(a, b)

formant un vecteur sur un diagramme appelé diagramme d' Argand , représentant le plan complexe . Re est l'axe réel, Im est l'axe imaginaire et

i

est «l' unité imaginaire » qui satisfait

i 2 = -1

.

Les nombres complexes permettent de résoudre toutes les équations polynomiales , même celles qui n'ont pas de solutions en nombres réels. Plus précisément, le théorème fondamental de l'algèbre affirme que toute équation polynomiale à coefficients réels ou complexes a une solution qui est un nombre complexe. Par exemple, l'équation ${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = - 9}$ n'a pas de solution réelle, puisque le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif, mais a les deux solutions complexes non réelles $-1 + 3 i$ et $-1 - 3 i$ .

L'addition, la soustraction et la multiplication de nombres complexes peuvent être définies naturellement en utilisant la règle $i 2 = -1$ combinée aux lois associative , commutative et distributive . Chaque nombre complexe différent de zéro a un inverse multiplicatif . Cela fait des nombres complexes un champ qui a les nombres réels comme sous-champ. Les nombres complexes forment également un espace vectoriel réel de dimension deux, avec ${1, i}$ comme base standard .

Cette base standard fait des nombres complexes un plan cartésien , appelé plan complexe . Cela permet une interprétation géométrique des nombres complexes et de leurs opérations, et à l'inverse d'exprimer en termes de nombres complexes certaines propriétés géométriques et constructions. Par exemple, les nombres réels forment la ligne réelle qui est identifiée à l'axe horizontal du plan complexe. Les nombres complexes de valeur absolue un forment le cercle unitaire . L'addition d'un nombre complexe est une translation dans le plan complexe, et la multiplication par un nombre complexe est une similitude centrée à l'origine. La conjugaison complexe est la symétrie de réflexion par rapport à l'axe réel. La valeur absolue complexe est une norme euclidienne .

En résumé, les nombres complexes forment une structure riche qui est à la fois un champ algébriquement clos , une algèbre commutative sur les réels et un espace vectoriel euclidien de dimension deux.

Définition

Une illustration du nombre complexe

z = x + iy

sur le plan complexe . La partie réelle est

x

et sa partie imaginaire est

y

.

Un nombre complexe est un nombre de la forme $a + bi$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels , et $i$ est un nombre indéterminé satisfaisant $i 2 = -1$ . Par exemple, $2 + 3 i$ est un nombre complexe. ^[6]^[3]

De cette façon, un nombre complexe est défini comme un polynôme à coefficients réels dans le $i$ indéterminé unique , pour lequel la relation $i 2 + 1 = 0$ est imposée. Sur la base de cette définition, des nombres complexes peuvent être ajoutés et multipliés, en utilisant l'addition et la multiplication pour les polynômes. La relation $i 2 + 1 = 0$ induit les égalités $i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k +2 = -1$ et $i 4 k +3 = - i,$ qui sont valables pour tous les entiers $k$ ; ceux-ci permettent la réduction de tout polynôme résultant de l'addition et de la multiplication de nombres complexes en un polynôme linéaire en $i$ , toujours de la forme $a + bi$ avec des coefficients réels $a, b.$

Le nombre réel $a$ est appelé la partie réelle du nombre complexe $a + bi$ ; le nombre réel $b$ est appelé sa partie imaginaire . Pour souligner, la partie imaginaire n'inclut pas de facteur $i$ ; c'est-à-dire que la partie imaginaire est $b$ , pas $bi$ . ^[7]^[8]^[3]

Formellement, les nombres complexes sont définis comme l' anneau quotient de l' anneau polynomial dans l'indéterminé $i$ , par l' idéal généré par le polynôme $i 2 + 1$ (voir ci - dessous ). ^[9]

Notation

Un nombre réel $a$ peut être considéré comme un nombre complexe $a + 0 i$ , dont la partie imaginaire est 0. Un nombre purement imaginaire $bi$ est un nombre complexe $0 + bi$ , dont la partie réelle est zéro. Comme pour les polynômes, il est courant d'écrire $a$ pour $a + 0 i$ et $bi$ pour $0 + bi$ . De plus, lorsque la partie imaginaire est négative, c'est-à-dire $b = - | b | <0$ , il est courant d'écrire $a - | b | i$ au lieu de $a + (- | b |) i$ ; par exemple, pour $b = -4$ , $3 - 4 i$ peuvent être écrits au lieu de $3 + (-4) i$ .

Puisque la multiplication de l'indéterminé $i$ et d'un réel est commutative en polynômes à coefficients réels, le polynôme $a + bi$ peut s'écrire $a + ib .$ Ceci est souvent avantageux pour les parties imaginaires désignées par des expressions, par exemple, lorsque $b$ est un radical. ^[dix]

La partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $Re (z)$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {Re}} (z)}$ , ou alors ${\ displaystyle {\ mathfrak {R}} (z)}$ ; la partie imaginaire d'un nombre complexe $z$ est notée $Im (z)$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {Im}} (z)}$ , ou alors ${\ displaystyle {\ mathfrak {I}} (z).}$ ^[2] Par exemple,

{\ displaystyle \ operatorname {Re} (2 + 3i) = 2 \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {Im} (2 + 3i) = 3 ~.}

L' ensemble de tous les nombres complexes est désigné par ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ( tableau noir en gras ) ou $C$ (en gras à la verticale). ^[2]

Dans certaines disciplines, en particulier dans l' électromagnétisme et l'électrotechnique , $j$ est utilisé au lieu de $i$ car $i$ est fréquemment utilisé pour représenter le courant électrique . ^[11] Dans ces cas, les nombres complexes sont écrits comme $a + bj$ , ou $a + jb$ .

Visualisation

Un nombre complexe

z

, sous forme de point (noir) et son vecteur de position (bleu)

Un nombre complexe $z$ peut ainsi être identifié avec une paire ordonnée ${\ displaystyle (\ operatorname {Re} (z), \ operatorname {Im} (z))}$ de nombres réels, qui à leur tour peuvent être interprétés comme les coordonnées d'un point dans un espace bidimensionnel. L'espace le plus immédiat est le plan euclidien avec des coordonnées appropriées, qui est alors appelé plan complexe ou diagramme d'Argand , ^[12]^[b]^{[13] du} nom de Jean-Robert Argand . Un autre espace important sur lequel les coordonnées peuvent être projetées est la surface bidimensionnelle d'une sphère, qui est alors appelée sphère de Riemann .

Plan complexe cartésien

La définition des nombres complexes impliquant deux valeurs réelles arbitraires suggère immédiatement l'utilisation de coordonnées cartésiennes dans le plan complexe. L' axe horizontal ( réel ) est généralement utilisé pour afficher la partie réelle, avec des valeurs croissantes vers la droite, et la partie imaginaire marque l' axe vertical ( imaginaire ), avec des valeurs croissantes vers le haut.

Un nombre cartographié peut être considéré comme le point coordonné ou comme un vecteur de position de l'origine à ce point. Les valeurs de coordonnées d'un nombre complexe $z$ peuvent donc être exprimées sous sa forme cartésienne , rectangulaire ou algébrique .

Notamment, les opérations d'addition et de multiplication prennent un caractère géométrique très naturel, lorsque les nombres complexes sont considérés comme des vecteurs de position: l'addition correspond à l' addition de vecteurs , tandis que la multiplication (voir ci - dessous ) correspond à multiplier leurs grandeurs et à additionner les angles qu'ils font avec le axe réel. Vue de cette manière, la multiplication d'un nombre complexe par $i$ correspond à faire tourner le vecteur de position dans le sens antihoraire d'un quart de tour ( 90 ° ) autour de l'origine - fait qui peut être exprimé algébriquement comme suit:

{\ Displaystyle (a + bi) \ cdot i = ai + b (i) ^ {2} = - b + ai.}

Plan complexe polaire

L'argument

φ

et le module

r

localisent un point dans le plan complexe.

Module et argument

Une autre option pour les coordonnées dans le plan complexe est le système de coordonnées polaires qui utilise la distance du point $z$ de l' origine ( $O$ ) et l'angle sous-tendu entre l' axe réel positif et le segment de ligne $Oz$ dans le sens antihoraire. Cela conduit à la forme polaire des nombres complexes.

La valeur absolue (ou module ou grandeur ) d'un nombre complexe $z = x + yi$ est ^[14]

{\ displaystyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Si $z$ est un nombre réel (c'est-à-dire si $y = 0$ ), alors $r = | x |$ . Autrement dit, la valeur absolue d'un nombre réel est égale à sa valeur absolue en tant que nombre complexe.

Selon le théorème de Pythagore , la valeur absolue d'un nombre complexe est la distance à l'origine du point représentant le nombre complexe dans le plan complexe .

L' argument de $z$ (dans de nombreuses applications appelé la «phase» $φ$ ) ^[13] est l'angle du rayon $Oz$ avec l'axe réel positif, et s'écrit $arg z$ . Comme pour le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire $x + yi$ ^[15] - en appliquant la tangente inverse au quotient des parties imaginaire par réel. En utilisant une identité de demi-angle, une seule branche de l'arctan suffit à couvrir la plage de la fonction $arg$ , $(- π, π]$ , et évite une analyse au cas par cas plus subtile

{\ displaystyle \ varphi = \ arg (x + yi) = {\ begin {cases} 2 \ arctan \ left ({\ dfrac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ right) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {ou}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {et }} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {et}} y = 0. \ end {cases}}}

Normalement, comme indiqué ci-dessus, la valeur principale dans l'intervalle $(- π, π]$ est choisie. Les valeurs dans l'intervalle $[0, 2 π)$ sont obtenues en ajoutant $2 π$ - si la valeur est négative. La valeur de $φ$ est exprimée en radians dans cet article. Il peut augmenter de n'importe quel multiple entier de $2 π$ et donner toujours le même angle, vu comme sous-tendu par les rayons de l'axe réel positif et depuis l'origine jusqu'à $z$ . Par conséquent, la fonction arg est parfois considérée comme à plusieurs valeurs . L'angle polaire pour le nombre complexe 0 est indéterminé, mais le choix arbitraire de l'angle polaire 0 est courant.

La valeur de $φ$ est égale au résultat de atan2 :

{\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} \ left (\ operatorname {Im} (z), \ operatorname {Re} (z) \ right).}

Ensemble, $r$ et $φ$ donnent une autre façon de représenter les nombres complexes, la forme polaire , car la combinaison du module et de l'argument spécifie complètement la position d'un point sur le plan. La récupération des coordonnées rectangulaires d'origine à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi).}

En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme

{\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi} {\ text {ou}} z = r \ exp i \ varphi.}

En utilisant la fonction $cis$ , ceci est parfois abrégé en

{\ displaystyle z = r \ operatorname {\ mathrm {cis}} \ varphi.}

En notation angulaire , souvent utilisée en électronique pour représenter un phaseur d'amplitude $r$ et de phase $φ$ , il s'écrit ^[16]

{\ displaystyle z = r \ angle \ varphi.}

Graphiques complexes

Un graphique de roue chromatique de l'expression

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}( z 2 - 1) ( z - 2 - i ) 2/z 2 + 2 + 2 i

Lors de la visualisation de fonctions complexes , une entrée et une sortie complexes sont nécessaires. Étant donné que chaque nombre complexe est représenté en deux dimensions, la représentation graphique d'une fonction complexe nécessiterait la perception d'un espace à quatre dimensions , ce qui n'est possible que dans les projections. Pour cette raison, d'autres manières de visualiser des fonctions complexes ont été conçues.

Dans la coloration de domaine, les dimensions de sortie sont représentées respectivement par la couleur et la luminosité. Chaque point du plan complexe en tant que domaine est orné , généralement avec une couleur représentant l'argument du nombre complexe et la luminosité représentant la magnitude. Les points sombres marquent les modules proches de zéro, les points les plus clairs sont plus éloignés de l'origine, la gradation peut être discontinue, mais est supposée monotone. Les couleurs varient souvent par étapes de $π$ /3pour $0$ à $2 π$ du rouge, jaune, vert, cyan, bleu, au magenta. Ces tracés sont appelés graphiques de roue chromatique . Cela fournit un moyen simple de visualiser les fonctions sans perdre d'informations. L'image montre des zéros pour $\pm 1, (2 + i)$ et des pôles pour $\pm \sqrt -2 -2 i .$

Les surfaces de Riemann sont une autre façon de visualiser des fonctions complexes. ^{[ une explication supplémentaire est nécessaire ] Les} surfaces de Riemann peuvent être considérées comme des déformations du plan complexe; tandis que les axes horizontaux représentent les entrées réelles et imaginaires, l'axe vertical unique ne représente que la sortie réelle ou imaginaire. Cependant, les surfaces de Riemann sont construites de telle manière que leur rotation de 180 degrés montre la sortie imaginaire, et vice versa. Contrairement à la coloration de domaine, les surfaces de Riemann peuvent représenter des fonctions à $valeurs$ multiples comme $\sqrt$ $z$ .

Histoire

La solution en radicaux (sans fonctions trigonométriques ) d'une équation cubique générale contient les racines carrées des nombres négatifs lorsque les trois racines sont des nombres réels, une situation qui ne peut être corrigée par la factorisation aidée par le test de racine rationnelle si le cubique est irréductible (le soi-disant casus irreducibilis ). Cette énigme a conduit le mathématicien italien Gerolamo Cardano à concevoir des nombres complexes vers 1545, ^[17] bien que sa compréhension soit rudimentaire.

Les travaux sur le problème des polynômes généraux ont finalement conduit au théorème fondamental de l'algèbre , qui montre qu'avec les nombres complexes, une solution existe à chaque équation polynomiale de degré un ou supérieur. Les nombres complexes forment ainsi un champ algébriquement clos , où toute équation polynomiale a une racine .

De nombreux mathématiciens ont contribué au développement de nombres complexes. Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et d'extraction de racine de nombres complexes ont été développées par le mathématicien italien Rafael Bombelli . ^[18] Un formalisme plus abstrait pour les nombres complexes a été développé par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton , qui a étendu cette abstraction à la théorie des quaternions . ^[19]

On peut peut-être dire que la première référence éphémère aux racines carrées de nombres négatifs se produit dans le travail du mathématicien grec Héros d'Alexandrie au Ier siècle après JC , où, dans son Stereometrica, il considère, apparemment par erreur, le volume d'un impossible frustum de une pyramide pour arriver au terme $\sqrt 81 - 144 = 3 i \sqrt 7$ dans ses calculs, bien que les quantités négatives n'aient pas été conçues dans les mathématiques hellénistiques et Hero l'a simplement remplacée par son positif $(\sqrt 144 - 81 = 3 \sqrt 7)$ . ^[20]

L'impulsion pour étudier les nombres complexes en tant que sujet en soi est apparue pour la première fois au XVIe siècle lorsque des solutions algébriques pour les racines des polynômes cubiques et quartiques ont été découvertes par des mathématiciens italiens (voir Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). On s'est vite rendu compte (mais on l'a prouvé beaucoup plus tard) ^[21] que ces formules, même si l'on ne s'intéressait qu'aux solutions réelles, nécessitaient parfois la manipulation de racines carrées de nombres négatifs. A titre d'exemple, la formule de Tartaglia pour une équation cubique de la forme $x$ $3$ $=$ $px$ $+$ $q$ ^[c] donne la solution de l'équation $x$ $3$ $=$ $x$ comme

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ left (\ left ({\ sqrt {-1}} \ right) ^ {1/3} + \ left ({\ sqrt {-1 }} \ right) ^ {- 1/3} \ right).}

À première vue, cela semble absurde. Cependant, les calculs formels avec des nombres complexes montrent que l'équation $z 3 = i$ a des solutions $- i$ , $\sqrt 3 + i / 2$ et $- \sqrt 3 + i / 2$ . En les substituant tour à tour pour $\sqrt -1 1/3$ dans la formule cubique de Tartaglia et en simplifiant, on obtient 0, 1 et −1 comme solutions de $x 3 - x = 0$ . Bien sûr, cette équation particulière peut être résolue à vue, mais elle illustre que lorsque des formules générales sont utilisées pour résoudre des équations cubiques avec des racines réelles, alors, comme les mathématiciens plus tard l'ont montré rigoureusement, ^[d] l'utilisation de nombres complexes est inévitable . Rafael Bombelli a été le premier à aborder explicitement ces solutions apparemment paradoxales d'équations cubiques et a développé les règles pour l'arithmétique complexe essayant de résoudre ces problèmes.

Le terme «imaginaire» pour ces quantités a été inventé par René Descartes en 1637, qui s'est efforcé de souligner leur nature irréelle ^[22]

... parfois seulement imaginaire, c'est-à-dire qu'on peut en imaginer autant que je l'ai dit dans chaque équation, mais parfois il n'existe aucune quantité qui corresponde à celle que l'on imagine.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imaginer. ]

Une autre source de confusion était que l'équation $\sqrt -1 2 = \sqrt -1 \sqrt -1 = -1$ semblait être capricieusement incompatible avec l'identité algébrique $\sqrt a \sqrt b = \sqrt ab$ , qui est valable pour les nombres réels non négatifs $a$ et $b$ , et qui a également été utilisé dans les calculs de nombres complexes avec l'un parmi $a$ , $b$ positif et l'autre négatif. L'utilisation incorrecte de cette identité (et l'identité associée $1 / \sqrt un = \sqrt 1 / une$ ) dans le cas où $a$ et $b$ sont tous les deux négatifs, même Euler alité. Cette difficulté a finalement conduit à la convention d'utiliser le symbole spécial $i$ à la place de √ −1 pour se prémunir contre cette erreur. ^{[la citation nécessaire ]} Même ainsi, Euler a considéré qu'il était naturel d'introduire les étudiants aux nombres complexes beaucoup plus tôt que nous le faisons aujourd'hui. Dans son manuel d'algèbre élémentaire, Elements of Algebra , il introduit ces nombres presque immédiatement et les utilise ensuite de manière naturelle.

Au 18ème siècle, les nombres complexes ont été plus largement utilisés, car il a été remarqué que la manipulation formelle d'expressions complexes pouvait être utilisée pour simplifier les calculs impliquant des fonctions trigonométriques. Par exemple, en 1730, Abraham de Moivre a noté que les identités compliquées reliant les fonctions trigonométriques d'un multiple entier d'un angle aux puissances des fonctions trigonométriques de cet angle pourraient être simplement ré-exprimées par la formule bien connue suivante qui porte son nom, de La formule de Moivre :

{\ displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = \ cos n \ theta + i \ sin n \ theta.}

En 1748, Leonhard Euler est allé plus loin et a obtenu la formule d' analyse complexe d' Euler : ^[23]

{\ displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}}

en manipulant formellement des séries de puissance complexes et a observé que cette formule pouvait être utilisée pour réduire toute identité trigonométrique à des identités exponentielles beaucoup plus simples.

L'idée d'un nombre complexe en tant que point dans le plan complexe ( ci-dessus ) a été décrite pour la première fois par le mathématicien danois - norvégien Caspar Wessel en 1799, ^[24] bien qu'elle ait été anticipée dès 1685 dans A Treatise of Algebra de Wallis . ^[25]

Les mémoires de Wessel sont apparus dans les Actes de l' Académie de Copenhague mais sont en grande partie passés inaperçus. En 1806, Jean-Robert Argand publia de manière indépendante une brochure sur les nombres complexes et apporta une preuve rigoureuse du théorème fondamental de l'algèbre . ^[26] Carl Friedrich Gauss avait publié plus tôt une preuve essentiellement topologique du théorème en 1797 mais a exprimé ses doutes à l'époque sur "la vraie métaphysique de la racine carrée de -1". ^[27] Ce n'est qu'en 1831 qu'il surmonta ces doutes et publia son traité sur les nombres complexes en tant que points dans le plan, ^[28]^[29]^{( p 638 )} établissant en grande partie la notation et la terminologie modernes.

Si l'on a jadis envisagé ce sujet d'un faux point de vue et donc trouvé une obscurité mystérieuse, c'est en grande partie attribuable à une terminologie maladroite. Si l'on n'avait pas appelé +1, −1, √ −1 unités positives, négatives ou imaginaires (ou même impossibles), mais à la place, disons, des unités directes, inverses ou latérales, alors on aurait à peine pu parler d'une telle obscurité. - Gauss (1831) ^[29]^{( p 638 )}^[28]

Au début du 19ème siècle, d'autres mathématiciens ont découvert indépendamment la représentation géométrique des nombres complexes: Buée, ^[30]^[31] Mourey , ^[32] Warren , ^[33] Français et son frère Bellavitis . ^[34]^[35]

Le mathématicien anglais GH Hardy a fait remarquer que Gauss était le premier mathématicien à utiliser des nombres complexes `` d'une manière vraiment confiante et scientifique '', bien que des mathématiciens tels que le norvégien Niels Henrik Abel et Carl Gustav Jacob Jacobi les utilisaient nécessairement de manière routinière avant que Gauss ne publie son traité de 1831. ^[36]

Augustin Louis Cauchy et Bernhard Riemann ont amené ensemble les idées fondamentales de l' analyse complexe à un haut niveau d'achèvement, commençant vers 1825 dans le cas de Cauchy.

Les termes courants utilisés dans la théorie sont principalement dus aux fondateurs. Argand appelé $cos φ + i sin φ$ le facteur de direction , et $r = \sqrt a 2 + b 2$ le module ; ^[e]^[38] Cauchy (1821) a appelé $cos φ + i sin φ$ la forme réduite (l'expression réduite) ^[39] et a apparemment introduit le terme argument ; Gauss a utilisé $i$ pour $\sqrt -1$ , ^{[f] a} introduit le terme nombre complexe pour $a + bi$ , ^[g] et a appelé $a 2 + b 2$ la norme . ^[h] Le coefficient de direction d' expression , souvent utilisé pour $cos φ + i sin φ$ , est dû à Hankel (1867), ^[40] et la valeur absolue, pour le module, est due à Weierstrass.

Les auteurs classiques ultérieurs sur la théorie générale comprennent Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass et bien d'autres. Un travail important (y compris une systématisation) dans le calcul multivarié complexe a été commencé au début du 20e siècle. Des résultats importants ont été obtenus par Wilhelm Wirtinger en 1927.

Relations et opérations

Égalité

Les nombres complexes ont une définition similaire de l'égalité avec les nombres réels; deux nombres complexes $a 1 + b 1 i$ et $a 2 + b 2 i$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales, c'est-à-dire si $a 1 = a 2$ et $b 1 = b 2$ . Les nombres complexes non nuls écrits sous forme polaire sont égaux si et seulement s'ils ont la même grandeur et que leurs arguments diffèrent d'un multiple entier de $2 π$ .

Commande

Contrairement aux nombres réels, il n'y a pas d'ordre naturel des nombres complexes. En particulier, il n'y a pas d'ordre linéaire sur les nombres complexes compatible avec l'addition et la multiplication - les nombres complexes ne peuvent pas avoir la structure d'un champ ordonné. C'est par exemple parce que chaque somme non triviale de carrés dans un champ ordonné est $\neq 0$ , et $i 2 + 1 2 = 0$ est une somme non triviale de carrés. Ainsi, les nombres complexes sont naturellement considérés comme existant sur un plan bidimensionnel.

Conjuguer

Représentation géométrique de

z

et de son conjugué

z

dans le plan complexe

Le conjugué complexe du nombre complexe $z = x + yi$ est donné par $x - yi$ . Il est désigné par $z$ ou $z *$ . ^[41] Cette opération unaire sur les nombres complexes ne peut pas être exprimée en appliquant uniquement leurs opérations de base addition, soustraction, multiplication et division.

Géométriquement, $z$ est la "réflexion" de $z$ autour de l'axe réel. Conjuguer deux fois donne le nombre complexe d'origine

{\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} = z,}

ce qui fait de cette opération une involution . La réflexion laisse la partie réelle et la magnitude de $z$ inchangées, c'est-à-dire

{\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ overline {z}}) = \ operatorname {Re} (z) \ quad}

et

{\ displaystyle \ quad | {\ overline {z}} | = | z |.}

La partie imaginaire et l'argument d'un nombre complexe $z$ changent de signe sous conjugaison

{\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ overline {z}}) = - \ operatorname {Im} (z) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {arg} {\ overline {z}} \ equiv - \ operatorname {arg} z {\ pmod {2 \ pi}}.}

Pour plus de détails sur l'argument et la magnitude, voir la section sur la forme polaire .

Le produit d'un nombre complexe $z = x + yi$ et de son conjugué est appelé carré absolu . C'est toujours un nombre réel non négatif et égal au carré de la grandeur de chacun:

{\ displaystyle z \ cdot {\ overline {z}} = x ^ {2} + y ^ {2} = | z | ^ {2} = | {\ overline {z}} | ^ {2}.}

Cette propriété peut être utilisée pour convertir une fraction avec un dénominateur complexe en une fraction équivalente avec un dénominateur réel en développant à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué du dénominateur donné. Ce processus est parfois appelé « rationalisation » du dénominateur (bien que le dénominateur dans l'expression finale puisse être un nombre réel irrationnel), car il ressemble à la méthode pour supprimer les racines d'expressions simples dans un dénominateur.

Les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe $z$ peuvent être extraites en utilisant la conjugaison:

{\ displaystyle \ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z + {\ overline {z}}} {2}}, \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z - {\ overline {z}}} {2i}}.}

De plus, un nombre complexe est réel si et seulement s'il est égal à son propre conjugué.

La conjugaison se répartit sur les opérations arithmétiques complexes de base:

{\ displaystyle {\ overline {z \ pm w}} = {\ overline {z}} \ pm {\ overline {w}},}

{\ displaystyle {\ overline {z \ cdot w}} = {\ overline {z}} \ cdot {\ overline {w}}, \ quad {\ overline {z / w}} = {\ overline {z}} / {\ overline {w}}.}

La conjugaison est également employée en géométrie inversive , une branche de la géométrie étudiant des réflexions plus générales que celles autour d'une ligne. Dans l' analyse de réseau de circuits électriques , le conjugué complexe est utilisé pour trouver l'impédance équivalente lorsque le théorème de transfert de puissance maximale est recherché.

Addition et soustraction

L'addition de deux nombres complexes peut se faire géométriquement en construisant un parallélogramme.

Deux nombres complexes $a$ et $b$ sont plus facilement ajoutés en ajoutant séparément leurs parties réelle et imaginaire des sommets. C'est-à-dire:

{\ Displaystyle a + b = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v) i.}

De même, la soustraction peut être effectuée comme

{\ Displaystyle ab = (x + yi) - (u + vi) = (xu) + (yv) i.}

En utilisant la visualisation de nombres complexes dans le plan complexe, l'addition a l'interprétation géométrique suivante: la somme de deux nombres complexes $a$ et $b$ , interprétée comme des points dans le plan complexe, est le point obtenu en construisant un parallélogramme à partir des trois sommets $O$ , et les points des flèches étiquetés $a$ et $b$ (à condition qu'ils ne soient pas sur une ligne). De manière équivalente, en appelant ces points $A$ , $B$ , respectivement et le quatrième point du parallélogramme $X,$ les triangles $OAB$ et $XBA$ sont congruents . Une visualisation de la soustraction peut être obtenue en considérant l'ajout du sous- retrait négatif .

Multiplication

Puisque la partie réelle, la partie imaginaire et l'indéterminé $i$ dans un nombre complexe sont tous considérés comme des nombres en eux-mêmes, deux nombres complexes, donnés comme $z = x + yi$ et $w = u + vi$ sont multipliés selon les règles de la distribution property , les propriétés commutatives et la propriété de définition $i 2 = -1$ de la manière suivante

{\ displaystyle {\ begin {aligné} z \ cdot w & = (x + yi) \ cdot (u + vi) & \\ & = x (u + vi) + yi (u + vi) && {\ text {by la loi de distribution (droite)}} \\ & = xu + xvi + yiu + yivi && {\ text {par la loi de distribution (gauche)}} \\ & = xu + yivi + xvi + yiu && {\ text {par la commutativité d'addition}} \\ & = xu + yvi ^ {2} + xvi + yui && {\ text {par la commutativité de la multiplication}} \\ & = (xu + yvi ^ {2}) + (xvi + yui) && {\ text {par l'associativité de l'addition}} \\ & = (xu-yv) + (xvi + yui) && {\ text {par la propriété de définition de}} i \\ & = (xu-yv) + ( xv + yu) i && {\ text {par la loi de distribution}}. \ end {aligné}}}

Réciproque et division

En utilisant la conjugaison, l' inverse d'un nombre complexe non nul $z = x + yi$ peut toujours être décomposé en

{\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z {\ overline {z}}}} = {\ frac {\ overline {z}} {| z | ^ {2}}} = {\ frac {\ overline {z}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2} }} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i,}

car non nul implique que $x 2 + y 2$ est supérieur à zéro.

Cela peut être utilisé pour exprimer une division d'un nombre complexe arbitraire $w = u + vi$ par un nombre complexe $z$ non nul comme

{\ displaystyle {\ frac {w} {z}} = w \ cdot {\ frac {1} {z}} = (u + vi) \ cdot \ left ({\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i \ right) = {\ frac {1} {x ^ {2} + y ^ { 2}}} \ gauche ((ux + vy) + (vx-uy) i \ droite).}

Multiplication et division sous forme polaire

Multiplication de

2 + i

(triangle bleu) et

3 + i

(triangle rouge). Le triangle rouge est tourné pour correspondre au sommet du bleu et étiré de √ 5 , la longueur de l' hypoténuse du triangle bleu.

Les formules de multiplication, de division et d'exponentiation sont plus simples sous forme polaire que les formules correspondantes en coordonnées cartésiennes. Étant donné deux nombres complexes $z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1)$ et $z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2)$ , à cause des identités trigonométriques

{\ Displaystyle \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b = \ cos (a + b)}

{\ Displaystyle \ cos a \ sin b + \ sin a \ cos b = \ sin (a + b)}

nous pouvons dériver

{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = r_ {1} r_ {2} (\ cos (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2})).}

En d'autres termes, les valeurs absolues sont multipliées et les arguments sont ajoutés pour donner la forme polaire du produit. Par exemple, multiplier par $i$ correspond à un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ce qui rend $i 2 = -1$ . L'image de droite illustre la multiplication des

{\ Displaystyle (2 + i) (3 + i) = 5 + 5i.}

Puisque les parties réelle et imaginaire de $5 + 5 i$ sont égales, l'argument de ce nombre est de 45 degrés, ou $π / 4$ (en radian ). D'autre part, c'est aussi la somme des angles à l'origine des triangles rouge et bleu que sont respectivement arctan (1/3) et arctan (1/2). Ainsi, la formule

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) + \ arctan \ left ({\ frac {1} {3}} \ droite)}

tient. Comme la fonction arctan peut être approximée très efficacement, des formules comme celle-ci - connues sous le nom de formules de type Machin - sont utilisées pour des approximations de haute précision de π .

De même, la division est donnée par

{\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} \ left (\ cos (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) \ right).}

Racine carrée

Les racines carrées de $a + bi$ (avec $b \neq 0$ ) sont ${\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)}$ , où

{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}}}

et

{\ displaystyle \ delta = (\ operatorname {sgn} b) {\ sqrt {\ frac {-a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}},}

où $sgn$ est la fonction signum . Cela peut être vu en quadrillant ${\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)}$ pour obtenir $un + bi$ . ^[42]^[43] Ici ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ est appelé le module de $a + bi$ , et le signe de la racine carrée indique la racine carrée avec une partie réelle non négative, appelée racine carrée principale ; également ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {z {\ overline {z}}}},}$ où $z = a + bi$ . ^[44]

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle ${\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}; z \ mapsto \ exp z}$ peut être défini pour chaque nombre complexe $z$ par la série de puissance

{\ displaystyle \ exp z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}},}

qui a un rayon de convergence infini .

La valeur à $1$ de la fonction exponentielle est le nombre d'Euler

{\ displaystyle e = \ exp 1 = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ environ 2,71828.}

Si $z$ est réel, on a ${\ displaystyle \ exp z = e ^ {z}.}$ La suite analytique permet d'étendre cette égalité pour chaque valeur complexe de $z$ , et ainsi de définir l'exponentiation complexe de base $e$ comme

{\ displaystyle e ^ {z} = \ exp z.}

Équation fonctionnelle

La fonction exponentielle satisfait l' équation fonctionnelle ${\ Displaystyle e ^ {z + t} = e ^ {z} e ^ {t}.}$ Cela peut être prouvé soit en comparant l'expansion des séries de puissance des deux membres, soit en appliquant la continuation analytique de la restriction de l'équation aux arguments réels.

Formule d'Euler

La formule d'Euler indique que, pour tout nombre réel $y$ ,

{\ Displaystyle e ^ {iy} = \ cos y + i \ sin y.}

L'équation fonctionnelle implique donc que, si $x$ et $y$ sont réels, on a

{\ Displaystyle e ^ {x + iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y) = e ^ {x} \ cos y + ie ^ {x} \ sin y,}

qui est la décomposition de la fonction exponentielle en ses parties réelle et imaginaire.

Logarithme complexe

Dans le cas réel, le logarithme naturel peut être défini comme l' inverse ${\ displaystyle \ ln \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}; x \ mapsto \ ln x}$ de la fonction exponentielle. Pour étendre cela au domaine complexe, on peut partir de la formule d'Euler. Cela implique que, si un nombre complexe ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ s'écrit sous forme polaire

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

avec ${\ displaystyle r, \ varphi \ in \ mathbb {R},}$ puis avec

{\ displaystyle \ ln z = \ ln r + i \ varphi}

comme logarithme complexe, on a un inverse propre:

{\ displaystyle \ exp \ ln z = \ exp (\ ln r + i \ varphi) = r \ exp i \ varphi = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = z.}

Cependant, comme le cosinus et le sinus sont des fonctions périodiques, l'addition d'un multiple entier de $2 π$ à $φ$ ne change pas $z$ . Par exemple, $e iπ = e 3 iπ = -1$ , donc $iπ$ et $3 iπ$ sont des valeurs possibles pour le logarithme népérien de $-1$ .

Par conséquent, si le logarithme complexe ne doit pas être défini comme une fonction à plusieurs valeurs

{\ displaystyle \ ln z = \ left \ {\ ln r + i (\ varphi +2 \ pi k) \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \},}

il faut utiliser une coupe de branche et restreindre le codomaine , résultant en la fonction bijective

{\ displaystyle \ ln \ colon \; \ mathbb {C} ^ {\ fois} \; \ à \; \; \; \ mathbb {R} ^ {+} + \; i \, \ left (- \ pi , \ pi \ droite].}

Si ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left (- \ mathbb {R} _ {\ geq 0} \ right)}$ n'est pas un nombre réel non positif (un nombre positif ou non réel), la valeur principale résultante du logarithme complexe est obtenue avec $- π < φ < π$ . C'est une fonction analytique en dehors des nombres réels négatifs, mais elle ne peut pas être prolongée à une fonction qui est continue à n'importe quel nombre réel négatif ${\ displaystyle z \ in - \ mathbb {R} ^ {+}}$ , où la valeur principale est $ln z = ln (- z) + iπ$ . ^[je]

Exponentiation

Si $x > 0$ est réel et $z$ complexe, l'exponentiation est définie comme

{\ displaystyle x ^ {z} = e ^ {z \ ln x},}

où $ln$ désigne le logarithme naturel.

Il semble naturel d'étendre cette formule à des valeurs complexes de $x$ , mais il y a quelques difficultés résultant du fait que le logarithme complexe n'est pas vraiment une fonction, mais une fonction à valeurs multiples .

Il s'ensuit que si $z$ est comme ci-dessus, et si $t$ est un autre nombre complexe, alors l' exponentiation est la fonction à valeurs multiples

{\ displaystyle z ^ {t} = \ gauche \ {e ^ {t \ ln r} \, (\ cos (\ varphi t + 2 \ pi kt) + i \ sin (\ varphi t + 2 \ pi kt) ) \} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \}}

Exposants entiers et fractionnaires

Représentation géométrique des 2e à 6e racines d'un nombre complexe

z

, sous forme polaire

re iφ

où

r = | z |

et

φ = arg z

. Si

z

est réel,

φ = 0

ou

π

. Les racines principales sont représentées en noir.

Si, dans la formule précédente, $t$ est un entier, alors le sinus et le cosinus sont indépendants de $k$ . Ainsi, si l'exposant $n$ est un entier, alors $z n$ est bien défini, et la formule d'exponentiation se simplifie à la formule de de Moivre :

{\ displaystyle z ^ {n} = (r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)) ^ {n} = r ^ {n} \, (\ cos n \ varphi + i \ sin n \ varphi) .}

Les $n$ n ièmes racines d'un nombre complexe $z$ sont données par

{\ displaystyle z ^ {1 / n} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ right) \ right)}

pour $0 \leq k \leq n - 1$ . (Ici ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {r}}}$ est l'habituel (positif) $n$ ième racine du nombre réel positif $r$ .) Parce que sinus et cosinus sont périodiques, d' autres valeurs entières de $k$ ne donnent pas d' autres valeurs.

Alors que la racine $n$ ème d'un nombre réel positif $r$ est choisie pour être le nombre réel positif $c$ satisfaisant $c n = r$ , il n'y a pas de manière naturelle de distinguer une racine $n$ ème complexe particulière d'un nombre complexe. Par conséquent, la $n$ ième racine est une fonction à n valeurs de $z$ . Cela implique que, contrairement au cas des nombres réels positifs, on a

{\ displaystyle (z ^ {n}) ^ {1 / n} \ neq z,}

puisque le côté gauche se compose de $n$ valeurs, et le côté droit est une valeur unique.

Propriétés

Structure du champ

L'ensemble ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ des nombres complexes est un champ . ^[45] En bref, cela signifie que les faits suivants sont valables: premièrement, deux nombres complexes quelconques peuvent être ajoutés et multipliés pour produire un autre nombre complexe. Deuxièmement, pour tout nombre complexe $z$ , son inverse additif $- z$ est également un nombre complexe; et troisièmement, chaque nombre complexe non nul a un nombre complexe réciproque . De plus, ces opérations satisfont un certain nombre de lois, par exemple la loi de commutativité d'addition et de multiplication pour deux nombres complexes quelconques $z 1$ et $z 2$ :

{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} = z_ {2} + z_ {1},}

{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = z_ {2} z_ {1}.}

Ces deux lois et les autres exigences sur un champ peuvent être prouvées par les formules données ci-dessus, en utilisant le fait que les nombres réels eux-mêmes forment un champ.

Contrairement aux réels, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ n'est pas un champ ordonné , c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de définir une relation $z 1 < z 2$ compatible avec l'addition et la multiplication. En fait, dans tout champ ordonné, le carré de tout élément est forcément positif, donc $i 2 = -1$ exclut l'existence d'un ordre sur ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ^[46]

Lorsque le champ sous-jacent d'un sujet ou d'une construction mathématique est le champ de nombres complexes, le nom du sujet est généralement modifié pour refléter ce fait. Par exemple: analyse complexe, matrice complexe, polynôme complexe et algèbre de Lie complexe .

Solutions d'équations polynomiales

Étant donné tous les nombres complexes (appelés coefficients ) $a 0, ..., a n$ , l'équation

{\ displaystyle a_ {n} z ^ {n} + \ dotsb + a_ {1} z + a_ {0} = 0}

a au moins une solution complexe z , à condition qu'au moins un des coefficients supérieurs $a 1, ..., a n$ soit non nul. ^[47] C'est l'énoncé du théorème fondamental de l'algèbre , de Carl Friedrich Gauss et Jean le Rond d'Alembert . En raison de ce fait, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est appelé un champ algébriquement clos . Cette propriété ne vaut pas pour le champ des nombres rationnels ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ (le polynôme $x 2 - 2$ n'a pas de racine rationnelle, puisque √ 2 n'est pas un nombre rationnel) ni les nombres réels ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ (le polynôme $x 2 + a$ n'a pas de racine réelle pour $a > 0$ , puisque le carré de $x$ est positif pour tout nombre réel $x$ ).

Il y a plusieurs preuves de ce théorème, soit par des méthodes analytiques telles que le théorème de Liouville , ou topologiques ceux tels que le nombre de tours , ou une preuve combinant théorie de Galois et le fait que tout polynôme réel de bizarre degré a au moins une racine réelle.

De ce fait, les théorèmes valables pour tout champ algébriquement clos s'appliquent à ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ Par exemple, toute matrice carrée complexe non vide a au moins une valeur propre (complexe) .

Caractérisation algébrique

Le champ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ a les trois propriétés suivantes:

Premièrement, il a la caractéristique 0. Cela signifie que $1 + 1 + \dots + 1 \neq 0$ pour n'importe quel nombre de sommations (dont toutes égales à un).
Deuxièmement, son degré de transcendance sur ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ , le premier champ de ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ est la cardinalité du continuum .
Troisièmement, il est algébriquement clos (voir ci-dessus).

On peut montrer que tout champ ayant ces propriétés est isomorphe (en tant que champ) à ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ Par exemple, la fermeture algébrique du champ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ du nombre p -adique satisfait également ces trois propriétés, donc ces deux champs sont isomorphes (en tant que champs, mais pas en tant que champs topologiques). ^[48] Aussi, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est isomorphe au domaine des séries Puiseux complexes . Cependant, la spécification d'un isomorphisme nécessite l' axiome du choix . Une autre conséquence de cette caractérisation algébrique est que ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ contient de nombreux sous-champs propres isomorphes à ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Caractérisation comme champ topologique

La caractérisation précédente de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ décrit uniquement les aspects algébriques de ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ C'est-à-dire que les propriétés de proximité et de continuité , qui importent dans des domaines tels que l' analyse et la topologie , ne sont pas traitées. La description suivante de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ car un champ topologique (c'est-à-dire un champ équipé d'une topologie , ce qui permet la notion de convergence) prend en compte les propriétés topologiques. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ contient un sous-ensemble $P$ (à savoir l'ensemble des nombres réels positifs) d'éléments non nuls satisfaisant les trois conditions suivantes:

$P$ est fermé sous addition, multiplication et prise d'inverses.
Si $x$ et $y$ sont des éléments distincts de $P$ , alors soit $x - y$ ou $y - x$ est en $P$ .
Si $S$ est un sous-ensemble non vide de $P$ , alors $S + P = x + P$ pour certains $x$ dans ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

En outre, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ a un automorphisme involutif non trivial $x$ $\mapsto$ $x$ $*$ (à savoir la conjugaison complexe), tel que $x x$ $*$ est dans $P$ pour tout $x$ non nul dans ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Tout champ $F$ avec ces propriétés peut être doté d'une topologie en prenant les ensembles $B (x, p) = {y | p - (y - x) (y - x) * \in P}$ comme un socle , où $x$ parcourt le champ et $p$ parcourt $P$ . Avec cette topologie, $F$ est isomorphe en tant que champ topologique à ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Les seuls champs topologiques localement compacts connectés sont ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ et ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ Cela donne une autre caractérisation de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ comme champ topologique, puisque ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ se distingue de ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ parce que les nombres complexes non nuls sont connectés , alors que les nombres réels non nuls ne le sont pas. ^[49]

Construction formelle

Construction en paires ordonnées

William Rowan Hamilton a présenté l'approche pour définir l'ensemble ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ de nombres complexes ^[50] comme l'ensemble $ℝ 2$ de paires ordonnées $(a, b)$ de nombres réels, dans lesquels les règles suivantes d'addition et de multiplication sont imposées: ^[45]

{\ displaystyle {\ begin {aligné} (a, b) + (c, d) & = (a + c, b + d) \\ (a, b) \ cdot (c, d) & = (ac- bd, bc + ad). \ end {aligné}}}

C'est alors juste une question de notation pour exprimer $(a, b)$ comme $a + bi$ .

Construction comme champ de quotient

Bien que cette construction de bas niveau décrive avec précision la structure des nombres complexes, la définition équivalente suivante révèle la nature algébrique de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ plus immédiatement. Cette caractérisation repose sur la notion de champs et de polynômes. Un champ est un ensemble doté d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division qui se comportent comme il est familier, par exemple, à partir des nombres rationnels. Par exemple, la loi distributive

{\ Displaystyle (x + y) z = xz + yz}

doit être valable pour trois éléments $x$ , $y$ et $z$ d'un champ. L'ensemble ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ des nombres réels forment un champ. Un polynôme $p (X)$ à coefficients réels est une expression de la forme

{\ displaystyle a_ {n} X ^ {n} + \ dotsb + a_ {1} X + a_ {0},}

où $a 0, ..., a n$ sont des nombres réels. L'addition et la multiplication habituelles de polynômes confèrent à l'ensemble ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$ de tous ces polynômes avec une structure en anneau . Cet anneau est appelé l' anneau polynomial sur les nombres réels.

L'ensemble des nombres complexes est défini comme l' anneau quotient ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (X ^ {2} +1).}$ ^[51] Ce champ d'extension contient deux racines carrées de $-1$ , à savoir (les cosets de) $X$ et $- X$ , respectivement. (Les cosets de) $1$ et $X$ forment une base de $ℝ [X] / (X 2 + 1) en$ tant qu'espace vectoriel réel , ce qui signifie que chaque élément du champ d'extension peut être uniquement écrit comme une combinaison linéaire dans ces deux éléments . De manière équivalente, les éléments du champ d'extension peuvent être écrits sous forme de paires ordonnées $(a, b)$ de nombres réels. L'anneau quotient est un champ, car $X 2 + 1$ est irréductible sur ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ donc l'idéal qu'il génère est maximal .

Les formules d'addition et de multiplication dans l'anneau ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x],}$ modulo la relation $X 2 = -1$ , correspondent aux formules d'addition et de multiplication de nombres complexes définis comme des paires ordonnées. Donc les deux définitions du champ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ sont isomorphes (en tant que champs).

Accepter cela ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est algébriquement clos, puisqu'il s'agit d'une extension algébrique de $ℝ$ dans cette approche, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est donc la clôture algébrique de ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Représentation matricielle de nombres complexes

Les nombres complexes $a + bi$ peuvent également être représentés par des matrices $2 \times 2$ qui ont la forme

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ - b & a \ end {pmatrix}}.}

Ici, les entrées $a$ et $b$ sont des nombres réels. Comme la somme et le produit de deux telles matrices est à nouveau de cette forme, ces matrices forment un sous - anneau de l'anneau $2 x 2$ matrices.

Un simple calcul montre que la carte

{\ displaystyle a + ib \ mapsto {\ begin {pmatrix} a & b \\ - b & a \ end {pmatrix}}}

est un isomorphisme d'anneau du champ des nombres complexes à l'anneau de ces matrices. Cet isomorphisme associe le carré de la valeur absolue d'un nombre complexe au déterminant de la matrice correspondante, et le conjugué d'un nombre complexe à la transposée de la matrice.

L'action de la matrice sur un vecteur $(x, y)$ correspond à la multiplication de $x + iy$ par $a + ib$ . En particulier, si le déterminant est $1$ , il existe un nombre réel $t$ tel que la matrice a la forme

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r \ cos t & r \ sin t \\ - r \ sin t & r \ cos t \ end {pmatrix}}.}

Dans ce cas, l'action de la matrice sur les vecteurs et la multiplication par le nombre complexe ${\ Displaystyle \ cos t + i \ sin t}$ sont tous les deux la rotation de l'angle $t$ .

Analyse complexe

Graphique de la roue chromatique de

sin (1 / z)

. Les parties noires à l'intérieur font référence à des nombres ayant de grandes valeurs absolues.

L'étude des fonctions d'une variable complexe est connue sous le nom d' analyse complexe et a une énorme utilité pratique en mathématiques appliquées ainsi que dans d'autres branches des mathématiques. Souvent, les preuves les plus naturelles pour les déclarations en analyse réelle ou même en théorie des nombres utilisent des techniques d'analyse complexe (voir le théorème des nombres premiers pour un exemple). Contrairement aux fonctions réelles, qui sont généralement représentées sous forme de graphes bidimensionnels, les fonctions complexes ont des graphes quadridimensionnels et peuvent être utilement illustrées en codant par couleur un graphique tridimensionnel pour suggérer quatre dimensions, ou en animant la transformation dynamique de la fonction complexe du plan complexe.

Fonctions exponentielles complexes et fonctions connexes

Les notions de séries convergentes et de fonctions continues dans l'analyse (réelle) ont des analogues naturels dans l'analyse complexe. On dit qu'une séquence de nombres complexes converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le font. Ceci équivaut à la définition (ε, δ) des limites , où la valeur absolue des nombres réels est remplacée par celle des nombres complexes. D'un point de vue plus abstrait, $ℂ$ , doté de la métrique

{\ displaystyle \ operatorname {d} (z_ {1}, z_ {2}) = | z_ {1} -z_ {2} |}

est un espace métrique complet , qui inclut notamment l' inégalité triangulaire

{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |}

pour deux nombres complexes $z 1$ et $z 2$ .

Comme en analyse réelle, cette notion de convergence est utilisée pour construire un certain nombre de fonctions élémentaires : la fonction exponentielle $exp z$ , également écrite $e z$ , est définie comme la série infinie

{\ displaystyle \ exp z: = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2 \ cdot 1}} + {\ frac {z ^ {3}} {3 \ cdot 2 \ cdot 1}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}

La série définissant les fonctions trigonométriques réelles sinus et cosinus , ainsi que les fonctions hyperboliques sinh et cosh, sont également reportées sur des arguments complexes sans changement. Pour les autres fonctions trigonométriques et hyperboliques, telles que la tangente , les choses sont légèrement plus compliquées, car les séries de définition ne convergent pas pour toutes les valeurs complexes. Il faut donc les définir soit en termes de sinus, cosinus et exponentiel, soit, de manière équivalente, en utilisant la méthode de continuation analytique .

La formule d'Euler stipule:

{\ displaystyle \ exp (i \ varphi) = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi}

pour tout nombre réel $φ$ , en particulier

{\ displaystyle \ exp (i \ pi) = - 1}

Contrairement à la situation des nombres réels, il existe une infinité de solutions complexes $z$ de l'équation

{\ displaystyle \ exp z = w}

pour tout nombre complexe $w \neq 0$ . On peut montrer qu'une telle solution $z$ - appelée logarithme complexe de $w$ - satisfait

{\ displaystyle \ log w = \ ln | w | + i \ arg w,}

où arg est l' argument défini ci - dessus , et dans le logarithme naturel (réel) . Comme arg est une fonction à plusieurs valeurs , unique uniquement jusqu'à un multiple de $2 π$ , log est également à plusieurs valeurs. La valeur principale de log est souvent prise en restreignant la partie imaginaire à l' intervalle $(- π, π]$ .

L' exponentiation complexe $z ω$ est définie comme

{\ displaystyle z ^ {\ omega} = \ exp (\ omega \ log z),}

et est à valeurs multiples, sauf lorsque $ω$ est un entier. Pour $ω = 1 / n$ , pour un certain nombre naturel $n$ , cela récupère la non-unicité des $n$ èmes racines mentionnées ci-dessus.

Les nombres complexes, contrairement aux nombres réels, ne satisfont pas en général les identités de puissance et de logarithme non modifiées, en particulier lorsqu'ils sont naïvement traités comme des fonctions à valeur unique; voir l' échec des identités d'alimentation et de logarithme . Par exemple, ils ne satisfont pas

{\ displaystyle a ^ {bc} = \ gauche (a ^ {b} \ droite) ^ {c}.}

Les deux côtés de l'équation sont multivalués par la définition de l'exponentiation complexe donnée ici, et les valeurs de gauche sont un sous-ensemble de celles de droite.

Fonctions holomorphes

Une fonction f : $ℂ$ → $ℂ$ est dite holomorphe si elle satisfait les équations de Cauchy – Riemann . Par exemple, tout ℝ linéaire carte $ℂ$ → $ℂ$ peut être écrit sous la forme

{\ displaystyle f (z) = az + b {\ overline {z}}}

avec des coefficients complexes $a$ et $b$ . Cette carte est holomorphe si et seulement si $b = 0$ . La deuxième sommation ${\ displaystyle b {\ overline {z}}}$ est différentiable en réel, mais ne satisfait pas les équations de Cauchy – Riemann .

Une analyse complexe montre certaines caractéristiques qui n'apparaissent pas dans une analyse réelle. Par exemple, deux fonctions holomorphes $f$ et $g$ qui s'accordent sur un sous - ensemble ouvert arbitrairement petit de $ℂ sont$ nécessairement d'accord partout. Les fonctions méromorphes , fonctions qui peuvent être écrites localement sous la forme $f (z) / (z - z 0) n$ avec une fonction holomorphe $f$ , partagent encore certaines des caractéristiques des fonctions holomorphes. D'autres fonctions ont des singularités essentielles , telles que $sin (1 / z)$ à $z = 0$ .

Applications

Les nombres complexes ont des applications dans de nombreux domaines scientifiques, notamment le traitement du signal , la théorie du contrôle , l' électromagnétisme , la dynamique des fluides , la mécanique quantique , la cartographie et l'analyse des vibrations . Certaines de ces applications sont décrites ci-dessous.

Géométrie

Formes

Trois points non colinéaires ${\ displaystyle u, v, w}$ dans le plan déterminer la forme du triangle ${\ displaystyle \ {u, v, w \}}$ . En localisant les points dans le plan complexe, cette forme de triangle peut être exprimée par l'arithmétique complexe comme

{\ displaystyle S (u, v, w) = {\ frac {uw} {uv}}.}

La forme ${\ displaystyle S}$ d'un triangle restera le même, lorsque le plan complexe est transformé par translation ou dilatation (par une transformation affine ), correspondant à la notion intuitive de forme, et décrivant la similitude . Ainsi chaque triangle ${\ displaystyle \ {u, v, w \}}$ appartient à une classe de similitude de triangles de même forme. ^[52]

Géométrie fractale

L'ensemble de Mandelbrot avec les axes réels et imaginaires étiquetés.

L' ensemble de Mandelbrot est un exemple populaire de fractale formée sur le plan complexe. Il est défini en traçant chaque emplacement ${\ displaystyle c}$ où itérer la séquence ${\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}$ ne diverge pas lorsqu'il est itéré à l' infini. De même, les ensembles Julia ont les mêmes règles, sauf là où ${\ displaystyle c}$ reste constant.

Triangles

Chaque triangle a une inellipse de Steiner unique - une ellipse à l'intérieur du triangle et tangente aux milieux des trois côtés du triangle. Les foyers de l'inellipse de Steiner d'un triangle peuvent être trouvés comme suit, selon le théorème de Marden : ^[53]^[54] Désignons les sommets du triangle dans le plan complexe comme $a = x A + y A i$ , $b = x B + y B i$ , et $c = x C + y C i$ . Écrivez l' équation cubique ${\ displaystyle (xa) (xb) (xc) = 0}$ , prenez sa dérivée et assimilez la dérivée (quadratique) à zéro. Le théorème de Marden dit que les solutions de cette équation sont les nombres complexes désignant les emplacements des deux foyers de l'inellipse de Steiner.

Théorie algébrique des nombres

Construction d'un pentagone régulier à l' aide d'une règle et d'une boussole .

Comme mentionné ci-dessus, toute équation polynomiale non constante (en coefficients complexes) a une solution en $ℂ$ . A fortiori, il en va de même si l'équation a des coefficients rationnels. Les racines de ces équations sont appelées nombres algébriques - elles sont un objet principal d'étude en théorie algébrique des nombres . Par rapport à $ℚ$ , la fermeture algébrique de $ℚ$ , qui contient également tous les nombres algébriques, $ℂ$ a l'avantage d'être facilement compréhensible en termes géométriques. De cette manière, des méthodes algébriques peuvent être utilisées pour étudier des questions géométriques et vice versa. Avec les méthodes algébriques, appliquant plus spécifiquement la machinerie de la théorie des champs au champ de nombres contenant des racines de l'unité , on peut montrer qu'il n'est pas possible de construire un nonagone régulier en utilisant uniquement la boussole et la règle - un problème purement géométrique.

Un autre exemple est les entiers gaussiens , c'est-à-dire les nombres de la forme $x + iy$ , où $x$ et $y$ sont des entiers, qui peuvent être utilisés pour classer des sommes de carrés .

Théorie analytique des nombres

La théorie analytique des nombres étudie les nombres, souvent des entiers ou des rationnels, en tirant parti du fait qu'ils peuvent être considérés comme des nombres complexes, dans lesquels des méthodes analytiques peuvent être utilisées. Cela se fait en codant les informations théoriques des nombres dans des fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonction zêta de Riemann $ζ (s)$ est liée à la distribution des nombres premiers .

Intégrales incorrectes

Dans les domaines appliqués, les nombres complexes sont souvent utilisés pour calculer certaines intégrales incorrectes à valeurs réelles , au moyen de fonctions à valeurs complexes. Plusieurs méthodes existent pour ce faire; voir les méthodes d'intégration des contours .

Equations dynamiques

Dans les équations différentielles , il est courant de trouver d'abord toutes les racines complexes $r$ de l' équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire ou d'un système d'équations, puis de tenter de résoudre le système en termes de fonctions de base de la forme $f (t) = e rt$ . De même, dans les équations aux différences , les racines complexes $r$ de l'équation caractéristique du système d'équations aux différences sont utilisées pour tenter de résoudre le système en termes de fonctions de base de la forme $f (t) = r t$ .

En mathématiques appliquées

Théorie du contrôle

En théorie du contrôle , les systèmes sont souvent transformés à partir du domaine temporel au domaine de fréquence en utilisant la transformée de Laplace . Les zéros et les pôles du système sont ensuite analysés dans le plan complexe . Le locus racine , le tracé de Nyquist et les techniques de tracé de Nichols utilisent tous le plan complexe.

Dans la méthode du locus racine, il est important que les zéros et les pôles soient dans les demi-plans gauche ou droit, c'est-à-dire qu'ils aient une partie réelle supérieure ou inférieure à zéro. Si un système linéaire invariant dans le temps (LTI) a des pôles

dans le demi-plan droit, il sera instable ,
le tout dans le demi-plan gauche, ce sera stable ,
sur l'axe imaginaire, il aura une stabilité marginale .

Si un système a des zéros dans le demi-plan droit, il s'agit d'un système à phase non minimale .

Analyse du signal

Les nombres complexes sont utilisés dans l' analyse des signaux et dans d'autres domaines pour une description pratique des signaux variant périodiquement. Pour des fonctions réelles données représentant des grandeurs physiques réelles, souvent en termes de sinus et cosinus, on considère les fonctions complexes correspondantes dont les parties réelles sont les grandeurs originales. Pour une onde sinusoïdale d'une fréquence donnée , la valeur absolue $| z |$ du $z$ correspondant est l' amplitude et l' argument $arg z$ est la phase .

Si l'analyse de Fourier est utilisée pour écrire un signal à valeur réelle donné sous la forme d'une somme de fonctions périodiques, ces fonctions périodiques sont souvent écrites comme des fonctions à valeurs complexes de la forme

{\ displaystyle x (t) = \ operatorname {Re} \ {X (t) \}}

et

{\ displaystyle X (t) = Ae ^ {i \ omega t} = ae ^ {i \ phi} e ^ {i \ omega t} = ae ^ {i (\ omega t + \ phi)}}

où ω représente la fréquence angulaire et le nombre complexe A code la phase et l'amplitude comme expliqué ci-dessus.

Cette utilisation est également étendue au traitement du signal numérique et au traitement d'image numérique , qui utilisent des versions numériques de l'analyse de Fourier (et de l' analyse par ondelettes ) pour transmettre, compresser , restaurer et traiter autrement des signaux audio numériques , des images fixes et des signaux vidéo .

Un autre exemple, pertinent pour les deux bandes latérales de modulation d'amplitude de la radio AM, est:

{\ displaystyle {\ begin {aligné} \ cos ((\ omega + \ alpha) t) + \ cos \ left ((\ omega - \ alpha) t \ right) & = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {i (\ omega + \ alpha) t} + e ^ {i (\ omega - \ alpha) t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (\ left (e ^ {i \ alpha t } + e ^ {- i \ alpha t} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (2 \ cos (\ alpha t) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = 2 \ cos (\ alpha t) \ cdot \ operatorname {Re} \ left (e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = 2 \ cos (\ alpha t) \ cdot \ cos \ left (\ omega t \ right). \ end {aligné}}}

En physique

Electromagnétisme et électrotechnique

En génie électrique , la transformée de Fourier est utilisée pour analyser des tensions et des courants variables . Le traitement des résistances , des condensateurs et des inductances peut ensuite être unifié en introduisant des résistances imaginaires dépendant de la fréquence pour ces deux derniers et en combinant les trois en un seul nombre complexe appelé impédance . Cette approche est appelée calcul de phaseur .

En électrotechnique, l'unité imaginaire est notée $j$ , pour éviter toute confusion avec $I$ , qui est généralement utilisé pour désigner le courant électrique , ou, plus particulièrement, $i$ , qui est généralement utilisé pour désigner le courant électrique instantané.

Puisque la tension dans un circuit AC oscille, elle peut être représentée comme

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {j \ omega t} = V_ {0} \ left (\ cos \ omega t + j \ sin \ omega t \ right),}

Pour obtenir la quantité mesurable, la partie réelle est prise:

{\ displaystyle v (t) = \ operatorname {Re} (V) = \ operatorname {Re} \ left [V_ {0} e ^ {j \ omega t} \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t .}

Le signal à valeur complexe $V (t)$ est appelé la représentation analytique du signal mesurable à valeur réelle $v (t)$ . ^[55]

Dynamique des fluides

En dynamique des fluides , des fonctions complexes sont utilisées pour décrire l'écoulement potentiel en deux dimensions .

Mécanique quantique

Le champ de nombres complexes est intrinsèque aux formulations mathématiques de la mécanique quantique , où les espaces complexes de Hilbert fournissent le contexte pour une telle formulation qui est pratique et peut-être la plus standard. Les formules de base originales de la mécanique quantique - l' équation de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg - utilisent des nombres complexes.

Relativité

En relativité restreinte et générale , certaines formules de la métrique sur l' espace-temps deviennent plus simples si l'on considère que la composante temps du continuum de l'espace-temps est imaginaire. (Cette approche n'est plus standard en relativité classique, mais est utilisée de manière essentielle en théorie quantique des champs .) Les nombres complexes sont essentiels aux spineurs , qui sont une généralisation des tenseurs utilisés en relativité.

Généralisations et notions connexes

Graphique quaternion Cayley Q8 montrant les cycles de multiplication par i , j et k

Le processus d'extension du champ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ de réels à ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est connue sous le nom de construction Cayley – Dickson . Il peut être porté plus loin à des dimensions plus élevées, produisant les quaternions ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ et octonions ${\ displaystyle \ mathbb {O}}$ qui (en tant qu'espace vectoriel réel) sont respectivement de dimension 4 et 8. Dans ce contexte, les nombres complexes ont été appelés les binarions . ^[56]

Tout comme en appliquant la construction aux réels, la propriété d' ordonner est perdue, les propriétés familières des nombres réels et complexes disparaissent à chaque extension. Les quaternions perdre commutativité, qui est, $x \cdot y \neq y \cdot x$ pour certains quaternions $x, y$ , et la multiplication des octonions , en plus de ne pas être commutative, ne parvient pas à être associative: $(x \cdot y) \cdot z \neq x \cdot (y \cdot z)$ pour certains octonions $x, y, z$ .

Les réels, les nombres complexes, les quaternions et les octonions sont tous des algèbres de division normées sur ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ D'après le théorème de Hurwitz, ils sont les seuls; les sedenions , la prochaine étape dans la construction Cayley – Dickson, ne parviennent pas à avoir cette structure.

La construction Cayley – Dickson est étroitement liée à la représentation régulière de ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ considéré comme un ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ - algèbre (un espace $ℝ$ -vecteur avec une multiplication), par rapport à la base $(1, i)$ . Cela signifie ce qui suit: le ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ -Carte linéaire

{\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbb {C} & \ rightarrow \ mathbb {C} \\ z & \ mapsto wz \ end {aligné}}}

pour un certain nombre complexe fixe, $w$ peut être représenté par une matrice $2 \times 2$ (une fois qu'une base a été choisie). Par rapport à la base $(1, i)$ , cette matrice est

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ operatorname {Re} (w) & - \ operatorname {Im} (w) \\\ operatorname {Im} (w) & \ operatorname {Re} (w) \ end {pmatrix }},}

c'est-à-dire celui mentionné dans la section sur la représentation matricielle des nombres complexes ci-dessus. Bien qu'il s'agisse d'une représentation linéaire de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ dans les matrices réelles 2 × 2, ce n'est pas la seule. Toute matrice

{\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} p & q \\ r & -p \ end {pmatrix}}, \ quad p ^ {2} + qr + 1 = 0}

a la propriété que sa place est le négatif de la matrice d'identité: $J 2 = - I$ . Puis

{\ displaystyle \ {z = aI + bJ: a, b \ in \ mathbb {R} \}}

est également isomorphe au champ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ et donne une structure complexe alternative sur ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ Ceci est généralisé par la notion de structure complexe linéaire .

Les nombres hypercomplexes se généralisent également ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H},}$ et ${\ displaystyle \ mathbb {O}.}$ Par exemple, cette notion contient les nombres complexes divisés , qui sont des éléments de l'anneau ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} -1)}$ (par opposition à ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ pour les nombres complexes). Dans cet anneau, l'équation $a 2 = 1$ a quatre solutions.

Le champ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ est l'achèvement de ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ le champ des nombres rationnels , par rapport à la métrique de valeur absolue habituelle . Autres choix de métriques sur ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ conduire aux champs ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ de nombres p -adiques (pour tout nombre premier $p$ ), qui sont ainsi analogues à $ℝ$ . Il n'y a pas d'autres moyens non triviaux de compléter ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ que ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ et ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},}$ par le théorème d' Ostrowski . Les fermetures algébriques ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}}$ de ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ portent toujours une norme, mais (contrairement à ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ) ne sont pas complets à cet égard. L'achèvement ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {p}}$ de ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}}$ se révèle algébriquement clos. Par analogie, le champ est appelé nombres complexes $p$ -adiques.

Les champs ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},}$ et leurs extensions de champ fini, y compris ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ sont appelés champs locaux .

Voir également

Surface algébrique
Mouvement circulaire utilisant des nombres complexes
Système à base complexe
Géométrie complexe
Nombre complexe double
Entier d'Eisenstein
L'identité d'Euler
Algèbre géométrique (qui inclut le plan complexe que le 2-dimensionnelle spinoriel sous - espace ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2} ^ {+}}$ )
Racine de l'unité
Nombre complexe d'unité

Remarques

^ "Les nombres complexes, autant que les réels, et peut-être même plus, trouvent une unité avec la nature qui est vraiment remarquable. C'est comme si la Nature elle-même était aussi impressionnée par la portée et la cohérence du système de nombres complexes que nous le sommes nous-mêmes, et a confié à ces nombres les opérations précises de son monde à ses plus petites échelles. " - R. Penrose (2016, p. 73)^[5]
^ "L'avion ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ dont les points sont identifiés avec les éléments de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est appelé le plan complexe "..." L'interprétation géométrique complète des nombres complexes et des opérations sur eux est apparue pour la première fois dans les travaux de C. Wessel (1799). La représentation géométrique des nombres complexes, parfois appelée "diagramme d'Argand", est entrée en vigueur après la publication en 1806 et 1814 d'articles de JR Argand, qui a redécouvert, en grande partie indépendamment, les découvertes de Wessel ". - ( Solomentsev 2001 )
^ En notation moderne, la solution de Tartaglia est basée sur l'expansion du cube de la somme de deux racines cubiques: ${\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ right) ^ {3} = 3 {\ sqrt [{3}] {uv }} \ gauche ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ droite) + u + v}$ Avec ${\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}}}$ , ${\ displaystyle p = 3 {\ sqrt [{3}] {uv}}}$ , ${\ displaystyle q = u + v}$ , $u$ et $v$ peuvent être exprimés en termes de $p$ et $q$ comme ${\ displaystyle u = q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}$ et ${\ displaystyle v = q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}$ , respectivement. Par conséquent, ${\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}} + {\ sqrt [ {3}] {q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}}}$ . Lorsque ${\ displaystyle (q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}$ est négatif (casus irreducibilis), la deuxième racine cubique doit être considérée comme le conjugué complexe de la première.
↑ Il a été prouvé que les nombres imaginaires doivent nécessairement apparaître dans la formule cubique lorsque l'équation a trois racines réelles et différentes par Pierre Laurent Wantzel en 1843, Vincenzo Mollame en 1890, Otto Hölder en 1891 et Adolf Kneser en 1892. Paolo Ruffini aussi a fourni une preuve incomplète en 1799. - S. Confalonieri (2015)^[21]
^ Argand (1814)^[37]^{( p 204 )} définit le module d'un nombre complexe mais il ne le nomme pas:
"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment affectés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils affectent; ainsi, si ${\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}}$ , ${\ displaystyle m}$ et ${\ displaystyle n}$ étant réels, on devra entendre que ${\ displaystyle a_ {'}}$ ou ${\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ . "
[Dans ce qui suit, les marques d'accentuation, où qu'elles soient placées, seront utilisées pour indiquer la taille absolue des quantités auxquelles elles sont affectées; donc si ${\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}}$ , ${\ displaystyle m}$ et ${\ displaystyle n}$ étant réel, il faut comprendre que ${\ displaystyle a_ {'}}$ ou alors ${\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ .]
Argand ^[37]^{( p 208 )} définit et nomme le module et le facteur de direction d'un nombre complexe: "... ${\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ pourrait être appelé le module de ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ , et révisait la grandeur absolue de la ligne ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en révisait la direction. "
[... ${\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ pourrait être appelé le module de ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ et représenterait la taille absolue de la ligne ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}} \ ,,}$ (Notez que Argand représentait les nombres complexes comme des vecteurs.) Tandis que l'autre facteur [à savoir, ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} + {\ tfrac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} {\ sqrt {-1}}}$ ], dont le module est l'unité [1], représenterait sa direction.] ^[37]
^ Gauss (1831)^[29]^{( p 96 )} écrit
« Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior dans quaestionibus hactenus pertractatis solos inter numeros integros Reales versatur, ita theoremata vers residua biquadratica tunc tantum en summa simplicitate ac genuina venustate resplendissante, quando campus ad arithmeticae quantifie imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam √ -1 , atque a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - ${\ displaystyle \ infty}$ et + ${\ displaystyle \ infty}$ "
[Bien sûr, tout comme l'arithmétique supérieure a été étudiée jusqu'à présent dans des problèmes uniquement parmi les nombres entiers réels, les théorèmes concernant les résidus biquadratiques brillent alors dans la plus grande simplicité et la beauté authentique, lorsque le domaine de l'arithmétique est étendu à des quantités imaginaires , de sorte que , sans restrictions, les nombres de la forme a + bi - i désignant par convention la quantité imaginaire √ -1 , et les variables a, b [désignant] tous les nombres entiers réels entre ${\ displaystyle - \ infty}$ et ${\ displaystyle + \ infty}$ - constituent un objet.] ^[29]
^ Gauss (1831)^[29]^{( p 96 )}
"Contes numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opposantur, sed tamquam espèces sous son contineri censeantur."
[Nous appellerons ces nombres [à savoir, les nombres de la forme a + bi ] "nombres entiers complexes", de sorte que les [nombres] réels ne soient pas considérés comme l'opposé de [nombres] complexes mais [comme] un type [de nombres qui ] est, pour ainsi dire, contenu en eux.]^[29]
^ Gauss (1831)^[29]^{( p 98 )}
"Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
[Nous appelons une "norme" le produit d'un nombre complexe [par exemple ,. a + ib ] avec son conjugué [ a - ib ]. Par conséquent, le carré d'un nombre réel doit être considéré comme sa norme.]^[29]
^ Cependant, pour une autre fonction inverse de la fonction exponentielle complexe (et non la valeur principale définie ci-dessus), la coupure de branche pourrait être prise à n'importe quel autre rayon passant par l'origine.

Les références

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Ouvrages cités

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Mathématique

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[6] "Les nombres complexes, autant que les réels, et peut-être même plus, trouvent une unité avec la nature qui est vraiment remarquable. C'est comme si la Nature elle-même était aussi impressionnée par la portée et la cohérence du système de nombres complexes que nous le sommes nous-mêmes, et a confié à ces nombres les opérations précises de son monde à ses plus petites échelles. " - R. Penrose (2016, p. 73)^[5]

[14] "L'avion ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ dont les points sont identifiés avec les éléments de ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ est appelé le plan complexe "..." L'interprétation géométrique complète des nombres complexes et des opérations sur eux est apparue pour la première fois dans les travaux de C. Wessel (1799). La représentation géométrique des nombres complexes, parfois appelée "diagramme d'Argand", est entrée en vigueur après la publication en 1806 et 1814 d'articles de JR Argand, qui a redécouvert, en grande partie indépendamment, les découvertes de Wessel ". - ( Solomentsev 2001 )

[24] En notation moderne, la solution de Tartaglia est basée sur l'expansion du cube de la somme de deux racines cubiques: ${\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ right) ^ {3} = 3 {\ sqrt [{3}] {uv }} \ gauche ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ droite) + u + v}$ Avec ${\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}}}$ , ${\ displaystyle p = 3 {\ sqrt [{3}] {uv}}}$ , ${\ displaystyle q = u + v}$ , $u$ et $v$ peuvent être exprimés en termes de $p$ et $q$ comme ${\ displaystyle u = q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}$ et ${\ displaystyle v = q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}$ , respectivement. Par conséquent, ${\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}} + {\ sqrt [ {3}] {q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}}}$ . Lorsque ${\ displaystyle (q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}$ est négatif (casus irreducibilis), la deuxième racine cubique doit être considérée comme le conjugué complexe de la première.

[25] Il a été prouvé que les nombres imaginaires doivent nécessairement apparaître dans la formule cubique lorsque l'équation a trois racines réelles et différentes par Pierre Laurent Wantzel en 1843, Vincenzo Mollame en 1890, Otto Hölder en 1891 et Adolf Kneser en 1892. Paolo Ruffini aussi a fourni une preuve incomplète en 1799. - S. Confalonieri (2015)^[21]

[42] Argand (1814)^[37]^{( p 204 )} définit le module d'un nombre complexe mais il ne le nomme pas:
"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment affectés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils affectent; ainsi, si ${\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}}$ , ${\ displaystyle m}$ et ${\ displaystyle n}$ étant réels, on devra entendre que ${\ displaystyle a_ {'}}$ ou ${\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ . "
[Dans ce qui suit, les marques d'accentuation, où qu'elles soient placées, seront utilisées pour indiquer la taille absolue des quantités auxquelles elles sont affectées; donc si ${\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}}$ , ${\ displaystyle m}$ et ${\ displaystyle n}$ étant réel, il faut comprendre que ${\ displaystyle a_ {'}}$ ou alors ${\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ .]
Argand ^[37]^{( p 208 )} définit et nomme le module et le facteur de direction d'un nombre complexe: "... ${\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ pourrait être appelé le module de ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ , et révisait la grandeur absolue de la ligne ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en révisait la direction. "
[... ${\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}$ pourrait être appelé le module de ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}}$ et représenterait la taille absolue de la ligne ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}} \ ,,}$ (Notez que Argand représentait les nombres complexes comme des vecteurs.) Tandis que l'autre facteur [à savoir, ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} + {\ tfrac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} {\ sqrt {-1}}}$ ], dont le module est l'unité [1], représenterait sa direction.] ^[37]

[45] Gauss (1831)^[29]^{( p 96 )} écrit
« Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior dans quaestionibus hactenus pertractatis solos inter numeros integros Reales versatur, ita theoremata vers residua biquadratica tunc tantum en summa simplicitate ac genuina venustate resplendissante, quando campus ad arithmeticae quantifie imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam √ -1 , atque a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - ${\ displaystyle \ infty}$ et + ${\ displaystyle \ infty}$ "
[Bien sûr, tout comme l'arithmétique supérieure a été étudiée jusqu'à présent dans des problèmes uniquement parmi les nombres entiers réels, les théorèmes concernant les résidus biquadratiques brillent alors dans la plus grande simplicité et la beauté authentique, lorsque le domaine de l'arithmétique est étendu à des quantités imaginaires , de sorte que , sans restrictions, les nombres de la forme a + bi - i désignant par convention la quantité imaginaire √ -1 , et les variables a, b [désignant] tous les nombres entiers réels entre ${\ displaystyle - \ infty}$ et ${\ displaystyle + \ infty}$ - constituent un objet.] ^[29]

[46] Gauss (1831)^[29]^{( p 96 )}
"Contes numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opposantur, sed tamquam espèces sous son contineri censeantur."
[Nous appellerons ces nombres [à savoir, les nombres de la forme a + bi ] "nombres entiers complexes", de sorte que les [nombres] réels ne soient pas considérés comme l'opposé de [nombres] complexes mais [comme] un type [de nombres qui ] est, pour ainsi dire, contenu en eux.]^[29]

[47] Gauss (1831)^[29]^{( p 98 )}
"Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
[Nous appelons une "norme" le produit d'un nombre complexe [par exemple ,. a + ib ] avec son conjugué [ a - ib ]. Par conséquent, le carré d'un nombre réel doit être considéré comme sa norme.]^[29]

[53] Cependant, pour une autre fonction inverse de la fonction exponentielle complexe (et non la valeur principale définie ci-dessus), la coupure de branche pourrait être prise à n'importe quel autre rayon passant par l'origine.

[1] Pour un compte rendu détaillé de l'histoire des nombres "imaginaires", du scepticisme initial à l'acceptation ultime, voir Bourbaki, Nicolas (1998). "Fondements de Mathématiques § Logique: Théorie des ensembles". Éléments de l'histoire des mathématiques . Springer. pp. 18–24.

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