Secteur circulaire

Un secteur circulaire , également appelé secteur de cercle ou secteur de disque (symbole: ⌔ ), est la partie d'un disque (une région fermée délimitée par un cercle) délimitée par deux rayons et un arc , où la plus petite zone est appelée le mineur secteur et le plus grand étant le principal secteur . ^[1]^{: 234} Dans le diagramme, θ est l' angle central , ${\ displaystyle r}$ le rayon du cercle, et ${\ displaystyle L}$ est la longueur de l'arc du secteur mineur.

Le secteur mineur est ombré en vert tandis que le secteur principal est ombré en blanc.

Un secteur avec l'angle central de 180 ° est appelé demi-disque et est délimité par un diamètre et un demi - cercle . Les secteurs avec d'autres angles centraux reçoivent parfois des noms spéciaux, tels que quadrants (90 °), sextants (60 °) et octants (45 °), qui proviennent du secteur étant une 4ème, 6ème ou 8ème partie d'un cercle complet, respectivement. De manière confuse, l' arc d'un quadrant (un arc de cercle ) peut également être appelé un quadrant.

L'angle formé en reliant les extrémités de l'arc à tout point de la circonférence qui n'est pas dans le secteur est égal à la moitié de l'angle central. ^[2]^{: 376}

Surface

L'aire totale d'un cercle est $π$ r ² . L'aire du secteur peut être obtenue en multipliant l'aire du cercle par le rapport de l'angle θ (exprimé en radians) et 2 $π$ (car l'aire du secteur est directement proportionnelle à son angle, et 2 $π$ est l'angle pour le cercle entier, en radians):

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}

L'aire d'un secteur en termes de L peut être obtenue en multipliant l'aire totale $π$ r ² par le rapport de L au périmètre total 2 $π$ r .

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {rL} {2}}}

Une autre approche consiste à considérer ce domaine comme le résultat de l'intégrale suivante:

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} dS = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} { \ tilde {r}} \, d {\ tilde {r}} \, d {\ tilde {\ theta}} = \ int _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \, d {\ tilde {\ theta}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}

La conversion de l'angle central en degrés donne ^[3]

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} {\ frac {\ theta ^ {\ circ}} {360 ^ {\ circ}}}}

Périmètre

La longueur du périmètre d'un secteur est la somme de la longueur de l'arc et des deux rayons:

{\ displaystyle P = L + 2r = \ theta r + 2r = r (\ theta +2)}

où θ est en radians.

Longueur de l'arc

La formule de la longueur d'un arc est: ^[4]^{: 570}

{\ displaystyle L = r \ theta}

où L représente la longueur de l'arc, r représente le rayon du cercle et θ représente l'angle en radians fait par l'arc au centre du cercle. ^[5]^{: 79}

Si la valeur de l'angle est donnée en degrés, alors nous pouvons également utiliser la formule suivante par: ^[3]

{\ displaystyle L = 2 \ pi r {\ frac {\ theta} {360}}}

Longueur de corde

La longueur d'une corde formée avec les points extrêmes de l'arc est donnée par

{\ displaystyle C = 2R \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

où C représente la longueur de la corde, R représente le rayon du cercle et θ représente la largeur angulaire du secteur en radians.

Voir également

Segment circulaire - la partie du secteur qui reste après avoir enlevé le triangle formé par le centre du cercle et les deux extrémités de l'arc de cercle sur la frontière.
Section conique
Quadrant de la Terre

Les références

^ Dewan, RK, Saraswati Mathematics ( New Delhi : New Saraswati House, 2016), p. 234 .
^ Achatz, T., et Anderson, JG , avec McKenzie, K., éd., Technical Shop Mathematics (New York: Industrial Press , 2005), p. 376 .
^ un b Uppal, Shveta (2019). Mathématiques: Manuel pour la classe X . New Delhi : NCERT . pp. 226 , 227 . ISBN 81-7450-634-9. OCLC 1145113954 .
^ Larson, R. et Edwards, BH, Calculus I avec Precalculus ( Boston : Brooks / Cole , 2002), p. 570 .
^ Wicks, A., niveau standard de mathématiques pour le baccalauréat international ( West Conshohocken, PA : Infinity, 2005), p. 79 .

Sources

Gerard, LJV, Les éléments de la géométrie, en huit livres; ou, First Step in Applied Logic (Londres, Longmans, Green, Reader and Dyer , 1874), p. 285 .

Legendre, AM , Éléments de géométrie et trigonométrie , Charles Davies , éd. (New York: AS Barnes & Co. , 1858), p. 119 .

[1] Dewan, RK, Saraswati Mathematics ( New Delhi : New Saraswati House, 2016), p. 234 .

[2] Achatz, T., et Anderson, JG , avec McKenzie, K., éd., Technical Shop Mathematics (New York: Industrial Press , 2005), p. 376 .

[:0-3] un b Uppal, Shveta (2019). Mathématiques: Manuel pour la classe X . New Delhi : NCERT . pp. 226 , 227 . ISBN 81-7450-634-9. OCLC 1145113954 .

[4] Larson, R. et Edwards, BH, Calculus I avec Precalculus ( Boston : Brooks / Cole , 2002), p. 570 .

[5] Wicks, A., niveau standard de mathématiques pour le baccalauréat international ( West Conshohocken, PA : Infinity, 2005), p. 79 .

[1]