Surface

Une approche pour définir ce que l'on entend par «aire» se fait par axiomes . La "zone" peut être définie comme une fonction d'une collection M d'un type spécial de figures planes (appelées ensembles mesurables) à l'ensemble de nombres réels, qui satisfait les propriétés suivantes: ^[11]

• Pour tout S dans M , a ( S ) ≥ 0.
• Si S et T sont dans M, alors S ∪ T et S ∩ T le sont aussi , et aussi a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S ∩ T ).
• Si S et T sont dans M avec S ⊆ T alors T - S est dans M et a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
• Si un ensemble S est dans M et S est congru à T alors T est aussi dans M et a ( S ) = a ( T ).
• Chaque rectangle R est M . Si le rectangle a une longueur h et une largeur k alors a ( R ) = hk .
• Soit Q un ensemble enfermé entre deux régions de pas S et T . Une région de gradin est formée à partir d' une union finie de rectangles adjacents reposant sur une base commune, à savoir S ⊆ Q ⊆ T . S'il existe un nombre unique c tel que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) pour toutes ces régions d'étape S et T , alors a ( Q ) = c .

Il peut être prouvé qu'une telle fonction de zone existe réellement. ^[12]

Un quadrat de mètre carré fait de tuyau en PVC.

Chaque unité de longueur a une unité de surface correspondante, à savoir l'aire d'un carré avec la longueur de côté donnée. Ainsi, les superficies peuvent être mesurées en mètres carrés (m ² ), centimètres carrés (cm ² ), millimètres carrés (mm ² ), kilomètres carrés (km ² ), pieds carrés (pi ² ), yards carrés (yd ² ), miles carrés (mi ² ), et ainsi de suite. ^[13] Algébriquement, ces unités peuvent être considérées comme les carrés des unités de longueur correspondantes.

L'unité de surface SI est le mètre carré, qui est considéré comme une unité dérivée du SI . ^[3]

Les conversions

Bien qu'il y ait 10 mm dans 1 cm, il y a 100 mm ² dans 1 cm ² .

Le calcul de l'aire d'un carré dont la longueur et la largeur sont de 1 mètre serait:

1 mètre × 1 mètre = 1 m ²

et ainsi, un rectangle avec des côtés différents (disons une longueur de 3 mètres et une largeur de 2 mètres) aurait une aire en unités carrées qui peut être calculée comme:

3 mètres × 2 mètres = 6 m ² . Cela équivaut à 6 millions de millimètres carrés. D'autres conversions utiles sont:

• 1 kilomètre carré = 1000000 mètres carrés
• 1 mètre carré = 10 000 centimètres carrés = 1 000 000 millimètres carrés
• 1 centimètre carré = 100 millimètres carrés.

Unités non métriques

En unités non métriques, la conversion entre deux unités carrées est le carré de la conversion entre les unités de longueur correspondantes.

1 pied = 12 pouces ,

la relation entre les pieds carrés et les pouces carrés est

1 pied carré = 144 pouces carrés,

où 144 = 12 ² = 12 × 12. De même:

• 1 mètre carré = 9 pieds carrés
• 1 mile carré = 3097600 mètres carrés = 27878400 pieds carrés

En outre, les facteurs de conversion comprennent:

• 1 pouce carré = 6,4516 centimètres carrés
• 1 pied carré = 0,092 903 04 mètres carrés
• 1 mètre carré = 0,836 127 36 mètres carrés
• 1 mile carré = 2,589 988 110 336 kilomètres carrés

Autres unités, y compris historiques

Il existe plusieurs autres unités communes pour la zone. Le sont était l'unité de surface d'origine dans le système métrique , avec:

• 1 sont = 100 mètres carrés

Bien que les terres ne soient plus utilisées, l' hectare est encore couramment utilisé pour mesurer les terres: ^[13]

• 1 hectare = 100 ares = 10000 mètres carrés = 0,01 kilomètres carrés

D'autres unités métriques de surface peu communes incluent la tétrade , l' hectad et la myriade .

L' acre est également couramment utilisé pour mesurer les superficies terrestres, où

• 1 acre = 4 840 verges carrées = 43 560 pieds carrés.

Un acre représente environ 40% d'un hectare.

À l'échelle atomique, la superficie est mesurée en unités de granges , de telle sorte que: ^[13]

• 1 grange = ^10-28 mètres carrés.

La grange est couramment utilisée pour décrire la zone d'interaction transversale en physique nucléaire . ^[13]

En Inde ,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 acre

Zone de cercle

Au 5ème siècle avant notre ère, Hippocrate de Chios fut le premier à montrer que l'aire d'un disque (la région entourée d'un cercle) est proportionnelle au carré de son diamètre, dans le cadre de sa quadrature de la lune d'Hippocrate , ^{[14 ]} mais n'a pas identifié la constante de proportionnalité . Eudoxe de Cnide , également au 5ème siècle avant notre ère, a également constaté que la surface d'un disque est proportionnelle à son rayon au carré. ^[15]

Par la suite, le Livre I d'Euclide Éléments eu affaire à l' égalité des zones entre les figures en deux dimensions. Le mathématicien Archimède a utilisé les outils de la géométrie euclidienne pour montrer que l'aire à l'intérieur d'un cercle est égale à celle d'un triangle rectangle dont la base a la longueur de la circonférence du cercle et dont la hauteur est égale au rayon du cercle, dans son livre Mesure d'un cercle . (La circonférence est 2 π r , et l'aire d'un triangle est la moitié de la base fois la hauteur, ce qui donne l'aire π r ² pour le disque.) Archimède a approché la valeur de π (et donc l'aire d'un cercle de rayon unitaire ) avec sa méthode de doublage , dans laquelle il inscrivait un triangle régulier dans un cercle et notait son aire, puis doublait le nombre de côtés pour donner un hexagone régulier , puis doublait à plusieurs reprises le nombre de côtés à mesure que l'aire du polygone se rapprochait de plus en plus de cela du cercle (et a fait de même avec des polygones circonscrits ).

Le scientifique suisse Johann Heinrich Lambert a prouvé en 1761 que π , le rapport de l'aire d'un cercle à son carré de rayon, est irrationnel , ce qui signifie qu'il n'est pas égal au quotient de deux nombres entiers quelconques. ^[16] En 1794, le mathématicien français Adrien-Marie Legendre a prouvé que π ² est irrationnel; cela prouve également que π est irrationnel. ^[17] En 1882, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann a prouvé que π est transcendantal (pas la solution de n'importe quelle équation polynomiale avec des coefficients rationnels), confirmant une conjecture faite par Legendre et Euler. ^{[16] : p. 196}

Zone triangulaire

Heron (ou Hero) d'Alexandrie a trouvé ce que l'on appelle la formule de Heron pour l'aire d'un triangle en termes de ses côtés, et une preuve peut être trouvée dans son livre, Metrica , écrit vers 60 CE. Il a été suggéré qu'Archimède connaissait la formule plus de deux siècles plus tôt, ^[18] et puisque Metrica est une collection de connaissances mathématiques disponibles dans le monde antique, il est possible que la formule soit antérieure à la référence donnée dans cet ouvrage. ^[19]

En 499, Aryabhata , un grand mathématicien - astronome de l'âge classique des mathématiques indiennes et de l'astronomie indienne , exprimait l'aire d'un triangle comme la moitié de la base multipliée par la hauteur dans l' Aryabhatiya (section 2.6).

Une formule équivalente à celle de Heron a été découverte par les Chinois indépendamment des Grecs. Il a été publié en 1247 dans Shushu Jiuzhang (" Traité mathématique en neuf sections "), écrit par Qin Jiushao .

Zone quadrilatérale

Au 7ème siècle de notre ère, Brahmagupta a développé une formule, maintenant connue sous le nom de formule de Brahmagupta , pour l'aire d'un quadrilatère cyclique (un quadrilatère inscrit dans un cercle) en termes de ses côtés. En 1842, les mathématiciens allemands Carl Anton Bretschneider et Karl Georg Christian von Staudt ont indépendamment trouvé une formule, connue sous le nom de formule de Bretschneider , pour l'aire de n'importe quel quadrilatère.

Zone polygonale générale

Le développement des coordonnées cartésiennes par René Descartes au 17ème siècle a permis le développement de la formule de l' arpenteur pour l'aire de tout polygone avec des emplacements de sommets connus par Gauss au 19ème siècle.

Zones déterminées à l'aide du calcul

Le développement du calcul intégral à la fin du XVIIe siècle a fourni des outils qui pourraient ensuite être utilisés pour calculer des zones plus complexes, telles que l'aire d'une ellipse et les surfaces de divers objets tridimensionnels courbes.

Formules polygonales

Pour un polygone ( simple ) non auto- sécant, les coordonnées cartésiennes ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$( i = 0, 1, ..., n -1) dont les n sommets sont connus, l'aire est donnée par la formule de l' arpenteur : ^[20]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl \ vert} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i +1} y_ {i}) {\ Biggr \ vert}}$

où lorsque i = n -1, alors i +1 est exprimé comme module n et se réfère donc à 0.

Rectangles

L'aire de ce rectangle est  lw .

La formule de surface la plus basique est la formule de l'aire d'un rectangle . Étant donné un rectangle de longueur l et de largeur w , la formule de l'aire est: ^{[2] [21]}

A = lw  (rectangle).

Autrement dit, l'aire du rectangle est la longueur multipliée par la largeur. Comme cas particulier, comme l = w dans le cas d'un carré, l'aire d'un carré de longueur de côté s est donnée par la formule: ^{[1] [2] [22]}

A = s ²  (carré).

La formule de l'aire d'un rectangle découle directement des propriétés de base de l'aire et est parfois considérée comme une définition ou un axiome . En revanche, si la géométrie est développée avant l' arithmétique , cette formule peut être utilisée pour définir la multiplication des nombres réels .

Dissection, parallélogrammes et triangles

La plupart des autres formules simples pour la zone découlent de la méthode de dissection . Cela implique de couper une forme en morceaux, dont les zones doivent correspondre à la zone de la forme d'origine.

Un diagramme montrant comment un parallélogramme peut être réorganisé sous la forme d'un rectangle.

Par exemple, tout parallélogramme peut être subdivisé en un trapèze et un triangle rectangle , comme indiqué sur la figure de gauche. Si le triangle est déplacé de l'autre côté du trapèze, la figure résultante est un rectangle. Il s'ensuit que l'aire du parallélogramme est la même que l'aire du rectangle: ^[2]

A = bh  (parallélogramme).

Un parallélogramme divisé en deux triangles égaux.

Cependant, le même parallélogramme peut également être coupé le long d'une diagonale en deux triangles congruents , comme le montre la figure de droite. Il s'ensuit que l'aire de chaque triangle est la moitié de l'aire du parallélogramme: ^[2]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}$  (Triangle).

Des arguments similaires peuvent être utilisés pour trouver des formules d'aires pour le trapèze ^[23] ainsi que des polygones plus compliqués . ^[24]

Zone de formes courbes

Cercles

Un cercle peut être divisé en secteurs qui se réorganisent pour former un parallélogramme approximatif .

La formule de l'aire d'un cercle (plus correctement appelée l'aire délimitée par un cercle ou l'aire d'un disque ) est basée sur une méthode similaire. Étant donné un cercle de rayon r , il est possible de partitionner le cercle en secteurs , comme le montre la figure de droite. Chaque secteur est de forme approximativement triangulaire et les secteurs peuvent être réarrangés pour former un parallélogramme approximatif. La hauteur de ce parallélogramme est r , et la largeur est la moitié de la circonférence du cercle, ou π r . Ainsi, l'aire totale du cercle est π r ² : ^[2]

A = π r ²  (cercle).

Bien que la dissection utilisée dans cette formule ne soit qu'approximative, l'erreur devient de plus en plus petite à mesure que le cercle est divisé en de plus en plus de secteurs. La limite des aires des parallélogrammes approximatifs est exactement π r ² , qui est l'aire du cercle. ^[25]

Cet argument est en fait une simple application des idées de calcul . Dans les temps anciens, la méthode de l'épuisement était utilisée de manière similaire pour trouver l'aire du cercle, et cette méthode est maintenant reconnue comme un précurseur du calcul intégral . En utilisant des méthodes modernes, l'aire d'un cercle peut être calculée en utilisant une intégrale définie :

${\ displaystyle A \; = \; 2 \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx \; = \; \ pi r ^ {2}.}$

Ellipses

La formule de la zone délimitée par une ellipse est liée à la formule d'un cercle; pour une ellipse avec des axes semi-majeurs et semi-mineurs x et y, la formule est: ^[2]

${\ displaystyle A = \ pi xy.}$

Superficie

Archimède a montré que la surface d'une sphère est exactement quatre fois la surface d'un disque plat de même rayon, et que le volume entouré par la sphère est exactement 2/3 du volume d'un cylindre de même hauteur et rayon.

La plupart des formules de base pour la surface peuvent être obtenues en coupant les surfaces et en les aplatissant. Par exemple, si la surface latérale d'un cylindre (ou de tout prisme ) est coupée dans le sens de la longueur, la surface peut être aplatie en un rectangle. De même, si une coupe est faite le long du côté d'un cône , la surface latérale peut être aplatie en un secteur de cercle, et la surface résultante calculée.

La formule de la surface d'une sphère est plus difficile à dériver: comme une sphère a une courbure gaussienne non nulle , elle ne peut pas être aplatie. La formule de la surface d'une sphère a été obtenue pour la première fois par Archimède dans son ouvrage Sur la sphère et le cylindre . La formule est: ^[6]

A = 4 πr ²  (sphère),

où r est le rayon de la sphère. Comme pour la formule de l'aire d'un cercle, toute dérivation de cette formule utilise intrinsèquement des méthodes similaires au calcul .

Formules générales

Zones de figures à 2 dimensions

Zone triangulaire ${\ displaystyle A = {\ tfrac {b \ cdot h} {2}}}$

• Un triangle :${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} Bh}$(où B est n'importe quel côté, et h est la distance de la ligne sur laquelle B se trouve à l'autre sommet du triangle). Cette formule peut être utilisée si la hauteur h est connue. Si les longueurs des trois côtés sont connues, la formule de Heron peut être utilisée:${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}$où a , b , c sont les côtés du triangle, et${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$est la moitié de son périmètre. ^[2] Si un angle et ses deux côtés inclus sont donnés, la zone est${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C)}$où C est l'angle donné et a et b sont ses côtés inclus. ^[2] Si le triangle est représenté graphiquement sur un plan de coordonnées, une matrice peut être utilisée et est simplifiée à la valeur absolue de${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} - x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$. Cette formule est également connue sous le nom de formule de lacet et est un moyen facile de résoudre l'aire d'un triangle de coordonnées en remplaçant les 3 points (x ₁ , y ₁ ) , (x ₂ , y ₂ ) et (x ₃ , y ₃ ) . La formule de lacet peut également être utilisée pour trouver les aires d'autres polygones lorsque leurs sommets sont connus. Une autre approche pour un triangle de coordonnées consiste à utiliser le calcul pour trouver l'aire.
• Un polygone simple construit sur une grille de points à égale distance (c'est-à-dire des points avec des coordonnées entières ) de telle sorte que tous les sommets du polygone soient des points de grille:${\ displaystyle i + {\ frac {b} {2}} - 1}$, où i est le nombre de points de grille à l'intérieur du polygone et b est le nombre de points de frontière. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Pick . ^[26]

Zone en calcul

L'intégration peut être considérée comme la mesure de l'aire sous une courbe, définie par f ( x ), entre deux points (ici a et b ).

La zone entre deux graphiques peut être évaluée en calculant la différence entre les intégrales des deux fonctions

• L'aire entre une courbe à valeur positive et l'axe horizontal, mesurée entre deux valeurs a et b (b est définie comme la plus grande des deux valeurs) sur l'axe horizontal, est donnée par l'intégrale de a à b de la fonction qui représente la courbe: ^[1]

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

• L'aire entre les graphiques de deux fonctions est égale à l' intégrale d'une fonction , f ( x ), moins l'intégrale de l'autre fonction, g ( x ):

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} (f (x) -g (x)) \, dx,}$ où ${\ displaystyle f (x)}$ est la courbe avec la valeur y la plus élevée.

• Une zone délimitée par une fonction ${\ displaystyle r = r (\ theta)}$exprimé en coordonnées polaires est: ^[1]

${\ displaystyle A = {1 \ over 2} \ int r ^ {2} \, d \ theta.}$

• La zone délimitée par une courbe paramétrique ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t) = (x (t), y (t))}$ avec des points de terminaison ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t_ {0}) = {\ vec {u}} (t_ {1})}$est donnée par les intégrales de ligne :

${\ displaystyle \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} x {\ dot {y}} \, dt = - \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} y { \ dot {x}} \, dt = {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} (x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}} ) \, dt}$

ou le composant z de

${\ displaystyle {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ vec {u}} \ times {\ dot {\ vec {u}}} \, dt.}$

(Pour plus de détails, voir le théorème de Green § Calcul de l'aire .) C'est le principe du dispositif mécanique planimétrique .

Zone délimitée entre deux fonctions quadratiques

Pour trouver la zone délimitée entre deux fonctions quadratiques , nous soustrayons l'une de l'autre pour écrire la différence comme

${\ Displaystyle f (x) -g (x) = ax ^ {2} + bx + c = a (x- \ alpha) (x- \ beta)}$

où f ( x ) est la borne quadratique supérieure et g ( x ) est la borne quadratique inférieure. Définissez le discriminant de f ( x ) - g ( x ) comme

${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac.}$

En simplifiant la formule intégrale entre les graphiques de deux fonctions (comme indiqué dans la section ci-dessus) et en utilisant la formule de Vieta , nous pouvons obtenir ^{[27] [28]}

${\ displaystyle A = {\ frac {\ Delta {\ sqrt {\ Delta}}} {6a ^ {2}}} = {\ frac {a} {6}} (\ beta - \ alpha) ^ {3} , \ qquad a \ neq 0.}$

Ce qui précède reste valable si l'une des fonctions de délimitation est linéaire au lieu de quadratique.

Superficie des figures en 3 dimensions

• Cône : ^[29] ${\ Displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$, où r est le rayon de la base circulaire et h est la hauteur. Cela peut également être réécrit comme${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$^[29] ou${\ Displaystyle \ pi r (r + l) \, \!}$où r est le rayon et l est la hauteur oblique du cône.${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$ est la zone de base tandis que ${\ displaystyle \ pi rl}$est la surface latérale du cône. ^[29]
• cube :${\ displaystyle 6s ^ {2}}$, où s est la longueur d'une arête. ^[6]
• cylindre :${\ Displaystyle 2 \ pi r (r + h)}$, où r est le rayon d'une base et h est la hauteur. Le 2${\ displaystyle \ pi}$r peut également être réécrit comme${\ displaystyle \ pi}$d , où d est le diamètre.
• prisme : 2B + Ph, où B est l'aire d'une base, P est le périmètre d'une base et h est la hauteur du prisme.
• pyramide :${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}}}$, où B est l'aire de la base, P est le périmètre de la base et L est la longueur de l'inclinaison.
• prisme rectangulaire :${\ displaystyle 2 (\ ell w + \ ell h + wh)}$, où ${\ displaystyle \ ell}$est la longueur, w est la largeur et h est la hauteur.

Formule générale de la surface

La formule générale de la surface du graphe d'une fonction continuellement différentiable ${\ Displaystyle z = f (x, y),}$ où ${\ displaystyle (x, y) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ et ${\ displaystyle D}$ est une région dans le plan xy avec la frontière lisse:

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial f } {\ partial y}} \ right) ^ {2} +1}} \, dx \, dy.}$

Une formule encore plus générale pour l'aire du graphe d'une surface paramétrique sous forme vectorielle${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$ où ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ est une fonction vectorielle continuellement différentiable de ${\ displaystyle (u, v) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$est: ^[8]

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v }} \ right | \, du \, dv.}$

Liste des formules

Formules communes supplémentaires pour la zone:

Façonner	Formule	Variables
Triangle régulier ( triangle équilatéral )	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ est la longueur d'un côté du triangle.
Triangle [1]	${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ est la moitié du périmètre, ${\ displaystyle a}$, ${\ displaystyle b}$ et ${\ displaystyle c}$ sont la longueur de chaque côté.
Triangle [2]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C) \, \!}$	${\ displaystyle a}$ et ${\ displaystyle b}$ sont deux côtés quelconques, et ${\ displaystyle C}$ est l'angle entre eux.
Triangle [1]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} bh \, \!}$	${\ displaystyle b}$ et ${\ displaystyle h}$sont la base et l' altitude (mesurées perpendiculairement à la base), respectivement.
Triangle isocèle	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} b {\ sqrt {a ^ {2} - {\ frac {b ^ {2}} {4}}}} = {\ frac {b} {4} } {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle a}$ est la longueur de l'un des deux côtés égaux et ${\ displaystyle b}$ est la longueur d'un côté différent.
Rhombus / cerf - volant	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab}$	${\ displaystyle a}$ et ${\ displaystyle b}$sont les longueurs des deux diagonales du losange ou du cerf-volant.
Parallélogramme	${\ displaystyle bh \, \!}$	${\ displaystyle b}$ est la longueur de la base et ${\ displaystyle h}$ est la hauteur perpendiculaire.
Trapèze	${\ displaystyle {\ frac {(a + b) h} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle a}$ et ${\ displaystyle b}$ sont les côtés parallèles et ${\ displaystyle h}$ la distance (hauteur) entre les parallèles.
Hexagone régulier	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {3}} s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ est la longueur d'un côté de l'hexagone.
Octogone régulier	${\ displaystyle 2 (1 + {\ sqrt {2}}) s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ est la longueur d'un côté de l'octogone.
Polygone régulier	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} nl ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle l}$ est la longueur du côté et ${\ displaystyle n}$ est le nombre de côtés.
Polygone régulier	${\ displaystyle {\ frac {1} {4n}} p ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle p}$ est le périmètre et ${\ displaystyle n}$ est le nombre de côtés.
Polygone régulier	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} nR ^ {2} \ cdot \ sin (2 \ pi / n) = nr ^ {2} \ tan (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle R}$ est le rayon d'un cercle circonscrit, ${\ displaystyle r}$ est le rayon d'un cercle inscrit, et ${\ displaystyle n}$ est le nombre de côtés.
Polygone régulier	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ap = {\ tfrac {1} {2}} nsa \, \!}$	${\ displaystyle n}$ est le nombre de côtés, ${\ displaystyle s}$ est la longueur du côté, ${\ displaystyle a}$est l' apothème ou le rayon d'un cercle inscrit dans le polygone, et${\ displaystyle p}$ est le périmètre du polygone.
Cercle	${\ displaystyle \ pi r ^ {2} \ {\ text {ou}} \ {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ est le rayon et ${\ displaystyle d}$le diamètre .
Secteur circulaire	${\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} r ^ {2} \ {\ text {ou}} \ {\ frac {L \ cdot r} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ et ${\ displaystyle \ theta}$sont respectivement le rayon et l'angle (en radians ) et${\ displaystyle L}$ est la longueur du périmètre.
Ellipse [2]	${\ Displaystyle \ pi ab \, \!}$	${\ displaystyle a}$ et ${\ displaystyle b}$sont les axes semi-majeur et semi-mineur , respectivement.
Surface totale d'un cylindre	${\ Displaystyle 2 \ pi r (r + h) \, \!}$	${\ displaystyle r}$ et ${\ displaystyle h}$ sont respectivement le rayon et la hauteur.
Surface latérale d'un cylindre	${\ displaystyle 2 \ pi rh \, \!}$	${\ displaystyle r}$ et ${\ displaystyle h}$ sont respectivement le rayon et la hauteur.
Surface totale d'une sphère [6]	${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} \ {\ text {ou}} \ \ pi d ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ et ${\ displaystyle d}$ sont respectivement le rayon et le diamètre.
Surface totale d'une pyramide [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle B}$ est la surface de base, ${\ displaystyle P}$ est le périmètre de base et ${\ displaystyle L}$ est la hauteur oblique.
Superficie totale d’un tronc de pyramide [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle B}$ est la surface de base, ${\ displaystyle P}$ est le périmètre de base et ${\ displaystyle L}$ est la hauteur oblique.
Conversion de zone carrée en zone circulaire	${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} A \, \!}$	${\ displaystyle A}$est l'aire du carré en unités carrées.
Conversion de surface circulaire en surface carrée	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} C \, \!}$	${\ displaystyle C}$est l'aire du cercle en unités circulaires.

Les calculs ci-dessus montrent comment trouver les zones de nombreuses formes courantes .

Les surfaces de polygones irréguliers (et donc arbitraires) peuvent être calculées à l'aide de la « formule de l'arpenteur » (formule des lacets). ^[25]

Relation de la superficie au périmètre

L' inégalité isopérimétrique stipule que, pour une courbe fermée de longueur L (donc la région qu'elle englobe a un périmètre L ) et pour l'aire A de la région qu'elle englobe,

${\ displaystyle 4 \ pi A \ leq L ^ {2},}$

et l'égalité est valable si et seulement si la courbe est un cercle . Ainsi, un cercle a la plus grande surface de toute figure fermée avec un périmètre donné.

À l'autre extrême, une figure avec un périmètre L donné pourrait avoir une surface arbitrairement petite, comme l'illustre un losange qui est «basculé» arbitrairement loin de sorte que deux de ses angles sont arbitrairement proches de 0 ° et les deux autres sont arbitrairement proches à 180 °.

Pour un cercle, le rapport de l'aire à la circonférence (le terme pour le périmètre d'un cercle) est égal à la moitié du rayon r . Cela peut être vu à partir de la formule d'aire πr ² et de la formule de circonférence 2 πr .

L'aire d'un polygone régulier est la moitié de son périmètre multiplié par l' apothème (où l'apothème est la distance entre le centre et le point le plus proche de n'importe quel côté).

Fractales

Le doublement de la longueur des bords d'un polygone multiplie sa surface par quatre, ce qui équivaut à deux (le rapport de la longueur du nouveau à l'ancien côté) à la puissance de deux (la dimension de l'espace dans lequel réside le polygone). Mais si les longueurs unidimensionnelles d'une fractale dessinée en deux dimensions sont toutes doublées, le contenu spatial de la fractale s'échelonne d'une puissance de deux qui n'est pas nécessairement un entier. Cette puissance s'appelle la dimension fractale de la fractale. ^[30]

Il y a une infinité de lignes qui divisent l'aire d'un triangle. Trois d'entre eux sont les médianes du triangle (qui relient les milieux des côtés avec les sommets opposés), et celles-ci sont concurrentes au centre de gravité du triangle ; en fait, ce sont les seules bissectrices de zone qui passent par le centre de gravité. Toute ligne passant par un triangle qui divise à la fois l'aire du triangle et son périmètre en deux passe par l'incenteur du triangle (le centre de son cercle ). Il y en a un, deux ou trois pour un triangle donné.

Toute ligne passant par le milieu d'un parallélogramme coupe la zone en deux.

Toutes les bissectrices d'un cercle ou d'une autre ellipse passent par le centre, et tous les accords passant par le centre coupent la zone en deux. Dans le cas d'un cercle, ce sont les diamètres du cercle.

Étant donné un contour de fil, la surface de la zone la moins étendue («remplissage») est une surface minimale . Les exemples familiers incluent les bulles de savon .

La question de la zone de remplissage du cercle riemannien reste ouverte. ^[31]

Le cercle a la plus grande surface de tout objet bidimensionnel ayant le même périmètre.

Un polygone cyclique (inscrit dans un cercle) a la plus grande surface de n'importe quel polygone avec un nombre donné de côtés de mêmes longueurs.

Une version de l' inégalité isopérimétrique pour les triangles indique que le triangle de plus grande aire parmi tous ceux qui ont un périmètre donné est équilatéral . ^[32]

Le triangle de plus grande superficie de tous ceux inscrits dans un cercle donné est équilatéral; et le triangle de plus petite aire de tous ceux circonscrits autour d'un cercle donné est équilatéral. ^[33]

Le rapport de l'aire du cercle à l'aire d'un triangle équilatéral, ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$, est plus grande que celle de tout triangle non équilatéral. ^[34]

Le rapport de l'aire au carré du périmètre d'un triangle équilatéral, ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}$est plus grand que celui de tout autre triangle. ^[32]

• Quadrilatère de Brahmagupta, quadrilatère cyclique avec côtés entiers, diagonales entières et aire entière.
• Carte Equiareal
• Triangle héronien , un triangle avec des côtés entiers et une aire entière.
• Liste des inégalités triangulaires
• Triangle d' un septième d'aire , un triangle intérieur avec un septième de l'aire du triangle de référence.

• Théorème de Routh , une généralisation du triangle d'un septième domaine.

• Ordres de grandeur - Une liste de zones par taille.
• Dérivation de la formule d'un pentagone
• Planimètre , un instrument pour mesurer de petites zones, par exemple sur des cartes.
• Aire d'un quadrilatère convexe
• Pentagone de Robbins , un pentagone cyclique dont les longueurs latérales et l'aire sont tous des nombres rationnels.